Ist mein Beweis für die Zusammensetzung der gleichmäßig stetigen Funktion korrekt?

Question

Ist mein Beweis für die Zusammensetzung der gleichmäßig stetigen Funktion korrekt?

Kontinuität
Mathematik
Realanalyse
gleichmäßige Kontinuität
Lösungsverifikation

Natascha J

Ich wurde gebeten, das zu beweisen, wenn $f$ , $g$ gleichmäßig stetige Funktionen sind, dann ihre Zusammensetzung $g\circ f$ ist ebenfalls gleichmäßig stetig.

Das ist mein Versuch:

Seit $f$ Und $g$ gleichmäßig stetig sind, haben wir

Für ein gegebenes $\epsilon_1>0$ , $\exists\ \delta_1>0$ so dass $|x_1-x_2|< \delta_1\implies|f(x_1)-f(x_2)|< \epsilon_1$ (1)

Ebenso für eine gegebene $\epsilon_2>0$ , $\exists\ \delta_2>0$ so dass $|x_1-x_2|< \delta_2\implies|g(x_1)-g(x_2)|< \epsilon_2$ (2)

Nun lass, $\epsilon= \min(\epsilon_1,\epsilon_2)$ und lass $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$

Dann wird (1) zu

Für ein gegebenes $\epsilon>0$ , $\exists\ \delta>0$ so dass $|x_1-x_2|< \delta \implies |f(x_1)-f(x_2)|< \epsilon$

Lassen $\delta=\epsilon$ , für eine bestimmte Auswahl von $\epsilon$

Dann haben wir $|f(x_1)-f(x_2)|<\delta$ für einige $\epsilon>0$ (3)

Dann haben wir nach (2) und (3)

$|g(f(x_1))-g(f(x_2))|<\epsilon$ wann immer

$|x_1-x_2|<\delta$

Somit $g\circ f$ ist gleichmäßig stetig

Jeder Rat ist willkommen!!

Kavi Rama Murthy

Du beginnst nicht mit einem

ϵ_{1}

$\epsilon_1$ und ein

ϵ_{2}

$\epsilon_2$ . Sie müssen mit einem beginnen

ϵ

$\epsilon$ und produzieren a

δ

$\delta$ so dass

g (f (x)) - g (f (y)) | < ϵ

$g(f(x))-g(f(y))| <\epsilon$ wann immer

| x - y | < δ

$|x-y| <\delta$ .

Natascha J

Ich verstehe nicht, kannst du es nochmal erklären? Warum kann ich nicht damit anfangen

ϵ_{1}

$\epsilon_1$ Und

ϵ_{2}

$\epsilon_2$ Danke

Theo Bendit

@ NatashaJ Es ist ein subtiler Punkt. Du sollst eine konstruieren

δ

$\delta$ das zeigt

g \circ f

$g \circ f$ ist gleichmäßig stetig, basierend auf einem Gegebenen

ε

$\varepsilon$ . Sie haben definiert

ε

$\varepsilon$ , was bedeutet, dass Sie möglicherweise auf subtile Weise Einschränkungen in what eingeführt haben

ε

$\varepsilon$ könnte sein. In diesem Fall ist es eine einfache Lösung, aber wenn Sie "Let

ε = min {ε_{1}, ε_{2}} + 1

$\varepsilon = \min\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\} + 1$ ...", dann würden Sie alle möglichen Werte von vernachlässigen

ε

$\varepsilon$ Gleich oder kleiner als

1

$1$ .

Antworten (1)

Ist mein Beweis für die Zusammensetzung der gleichmäßig stetigen Funktion korrekt?

Du beginnst nicht mit einem $\epsilon_1$ und ein $\epsilon_2$ . Sie müssen mit einem beginnen $\epsilon$ und produzieren a $\delta$ so dass $g(f(x))-g(f(y))| <\epsilon$ wann immer $|x-y| <\delta$ .
Ich verstehe nicht, kannst du es nochmal erklären? Warum kann ich nicht damit anfangen $\epsilon_1$ Und $\epsilon_2$ Danke
@ NatashaJ Es ist ein subtiler Punkt. Du sollst eine konstruieren $\delta$ das zeigt $g \circ f$ ist gleichmäßig stetig, basierend auf einem Gegebenen $\varepsilon$ . Sie haben definiert $\varepsilon$ , was bedeutet, dass Sie möglicherweise auf subtile Weise Einschränkungen in what eingeführt haben $\varepsilon$ könnte sein. In diesem Fall ist es eine einfache Lösung, aber wenn Sie "Let $\varepsilon = \min\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\} + 1$ ...", dann würden Sie alle möglichen Werte von vernachlässigen $\varepsilon$ Gleich oder kleiner als $1$ .

Koro · Answer 1

Gehen wir von der Definition der gleichmäßigen Kontinuität aus: Eine Funktion $f:A\to \mathbb R$ soll am Set gleichmäßig stetig sein $A$ Wenn

Für jeden $\epsilon \gt 0,$ es existiert ein $\delta_\epsilon\gt 0$ so dass für alle $x,y$ In $A$ befriedigend $|x-y|\lt \delta$ , es folgt dem $|f(x)-f(y)|\lt \epsilon$ .

Eine Beobachtung aus der Definition ist die $\epsilon\gt 0$ ist beschränkungsfrei.

Deine Wahl $\epsilon_1\gt 0, \epsilon_2\gt 0$ und dann genommen $\epsilon =\min \{\epsilon_1, \epsilon_2\}$

Beachten Sie, dass entsprechend $\epsilon_1,\epsilon_2,$ wir haben $\delta_{\epsilon_1}\gt 0$ Und $\delta_{\epsilon_2}\gt 0$ . Wenn du wählst $\epsilon=\min \{\epsilon_1, \epsilon_2\}$ dann gibt es keinen Grund, das zu glauben $\delta_{\epsilon}=\min \{\delta_{\epsilon_1},\delta_{\epsilon_2}\}$ . Das ist das Problem mit deinem Beweis. Bitte beachten Sie, dass ich Indizes mit verwende $\delta$ denen zu zeigen $\epsilon$ sie entsprechen um so vielen $\delta$ lass dich nicht verwechseln.

Ein Beweis für das Ergebnis, das Sie zu beweisen versuchen, könnte in diese Richtung gehen:

Für beliebige $\epsilon\gt 0,$ es gibt $\delta_1\gt 0$ Und $\delta_2\gt 0$ so dass

Für alle $x,y$ im Bereich von $g$ befriedigend $|x-y|\lt \delta_1$ , es folgt dem $|g(x)-g(y)|\lt \epsilon$
Für alle $u,v$ im Bereich von $f$ befriedigend $|u-v|\lt \delta_2$ , es folgt dem $|f(u)-f(v)|\lt \delta_1$

Vorausgesetzt, dass $gof$ wohldefiniert ist, haben wir von oben zwei Punkte dafür

Und da $\epsilon\gt 0$ beliebig ist, folgt das Ergebnis aus der oben angegebenen Definition.

Ist mein Beweis für die Zusammensetzung der gleichmäßig stetigen Funktion korrekt?

Natascha J

Kavi Rama Murthy

Natascha J

Theo Bendit

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Koro

Natascha J

Bildet eine stetige Funktion Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen ab?

Ein Versuch zu beweisen, dass "eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall (I) gleichmäßig stetig ist"

Beweisen Sie, dass die Funktion f(x)=sin(x2) f(x)=sin⁡(x2)\ f(x)=\sin(x^2) auf dem Gebiet RR\mathbb{R} nicht gleichmäßig stetig ist.

Ist x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolut stetig?

Würde der folgende Beweis, dass eine stetige Funktion fff aus einem kompakten Raum X→YX→YX\rightarrow Y gleichmäßig stetig ist, fehlschlagen?

Umkehrfunktion f−1:f(R)→Rf−1:f(R)→Rf^{-1}:f(\mathbb{R})\to\mathbb{R} einer streng steigenden Funktion f:R →Rf:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ist stetig

Beweis, dass das Supremum einer Folge stetiger Funktionen stetig ist

Topologische Charakterisierung der Kontinuität

Zeigen Sie, dass wenn g((xn))→lg((xn))→lg((x_n)) \rightarrow l und g((yn))→mg((yn))→mg((y_n)) \rightarrow m , dann l=ml=ml=m

Beispiel für fff stetig auf einem vollständig begrenzten metrischen Raum XXX, wobei f(X)f(X)f(X) nicht vollständig begrenzt ist