Ist x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolut stetig?

Question

Ist x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolut stetig?

Kontinuität
Mathematik
Realanalyse
absolute Kontinuität
Lösungsverifikation

JohnK

Das möchte ich beweisen $\sqrt{x}, x\in [0,1]$ ist eine absolut stetige Funktion . Der Weg, den ich versucht habe, das zu tun, ist wie folgt:

\sum_{k = 1}^{N} (\sqrt{j_{k}} - \sqrt{X_{k}}) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{j_{k} - X_{k}}{\sqrt{j_{k}} + \sqrt{X_{k}}} \leq \underset{k}{Mindest} \frac{1}{\sqrt{j_{k}} + \sqrt{X_{k}}} \sum_{k = 1}^{N} (j_{k} - X_{k})

$\sum_{k=1}^n \left( \sqrt{y_k} - \sqrt{x_k} \right) = \sum_{k=1}^n \frac{y_k-x_k}{\sqrt{y_k} + \sqrt{x_k}} \leq \min_{k} \frac{1}{\sqrt{y_k} + \sqrt{x_k}} \sum_{k=1}^n \left(y_k - x_k\right)$

Und unter der Annahme, dass dies richtig ist, folgt absolute Kontinuität durch Nehmen $\delta = \frac{\epsilon}{\min_{k} \frac{1}{\sqrt{y_k} + \sqrt{x_k}}}$ . Können Sie bitte überprüfen, ob mein Beweis korrekt ist? Ist das in Ordnung $\delta$ hängt von den Intervallen ab?

Danke schön.

Benutzer284001

Siehe auch: math.stackexchange.com/questions/1543221/…

JohnK

@Bacon Mein Beweis ist besser.

Benutzer284001

Trotz Ihrer guten Bemühungen ist die akzeptierte Antwort im Link ohne die Verwendung der Maßtheorie ziemlich gut ... :-)

Benutzer284001

Interessanterweise ist Ihre Funktion nicht Lipschitz, da die Ableitung auf der Domäne unbeschränkt ist. Aber ich denke, es wäre Lipschitz, wenn

x \in [ε, 1]

$x \in [\varepsilon, 1]$ für einige

ε > 0

$\varepsilon > 0$ . Würdest du John zustimmen?

Antworten (1)

Ist x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolut stetig?

Trotz Ihrer guten Bemühungen ist die akzeptierte Antwort im Link ohne die Verwendung der Maßtheorie ziemlich gut ... :-)
Interessanterweise ist Ihre Funktion nicht Lipschitz, da die Ableitung auf der Domäne unbeschränkt ist. Aber ich denke, es wäre Lipschitz, wenn $x \in [\varepsilon, 1]$ für einige $\varepsilon > 0$ . Würdest du John zustimmen?

Jim · Answer 1

Das ist nicht richtig!!! Du hast gemacht $\delta$ hängt von der Wahl der Intervalle ab, was Sie nicht wollen, wenn Sie sich Ihre Definition ansehen!

$F$ ist absolut kontinuierlich an $[a,b]$ wenn überhaupt $\epsilon>0$ es existiert ein $\delta>0$ (abhängig von $\epsilon$ und die Funktion $F$ ) so dass $\sum_{i=1}^{n}|F(b_i)-F(a_i)|<\epsilon$ für jede endliche Sammlung $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_n,b_n)$ von disjunkten Teilintervallen von $[a,b]$ der Gesamtlänge $\sum_{i=1}^{n}b_i-a_i$ maximal $\delta$ .

Ist x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolut stetig?

JohnK

Benutzer284001

JohnK

Benutzer284001

Benutzer284001

Antworten (1)

Jim

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