Sei fff stetig. Wenn f(x)=0⟹ff(x)=0⟹ff(x) = 0 \impliziert, dass f streng bei xxx wächst, dann ist fff höchstens eine Wurzel.

Das ähnelt dieser Frage, die ich gestern gestellt habe . Ich brauche nur jemanden, der meinen Beweis der folgenden Aussage überprüft (oder einen alternativen Beweis anbietet).

Lassen F : R → R : X ↦ F ( X ) eine stetige Funktion sein. Wenn F ( X ) = 0 ⟹ F ist streng auf eine offene Nachbarschaft von erhöht X , Dann F wie höchstens eine Wurzel.

Hier mein Versuch eines Widerspruchsbeweises.

Fall 1. Let X 1 < X 2 zwei Wurzeln ohne andere Wurzeln in (x_1,x_2) sein . Seit F nimmt strikt in einer Nachbarschaft jeder Wurzel zu, die wir finden können δ > 0 so dass F > 0 An ( X ich , X ich + δ ) Und F < 0 An ( X ich − δ , X ich ) .

Mit dem Zwischenwertsatz können wir eine andere Nullstelle finden C irgendwo dazwischen X 1 Und X 2 , ein Widerspruch.

Fall 2. Mit dem ersten Teil können wir immer eine Wurzel von finden F zwischen zwei gegebenen Wurzeln von F . Seien x_1 < x_2 zwei Nullstellen.

Das werden wir zeigen F = 0 An ( X 1 , X 2 ) was der Tatsache widerspricht, dass F nimmt streng an seinen Wurzeln zu.

Lassen X ~ ∈ ( X 1 , X 2 ) .

Definieren

X 1 ' = sup { X ∈ [ X 1 , X ~ ] : F ( X ) = 0 }
X 2 ' = inf { X ∈ [ X ~ , X 2 ] : F ( X ) = 0 } .

Seit X ich ' ist der inf (oder sup ) einer beschränkten Menge können wir eine Folge von Wurzeln finden, gegen die konvergiert X ich ' also durch Kontinuität von F wir haben F ( X 1 ' ) = F ( X 2 ' ) = 0.

Deutlich X 1 ' ≤ X ~ ≤ X 2 ' also brauchen wir nur die beiden folgenden Fälle zu betrachten

  • Wenn X ~ = X 1 ' oder X ~ = X 2 ' Dann F ( X ~ ) = 0.

  • Wenn X ~ ∈ ( X 1 ' , X 2 ' ) dann seit X 1 ' Und X 2 ' Wurzeln sind, können wir eine neue Wurzel finden C In ( X 1 ' , X 2 ' ) . Wenn X ~ ≤ C dann haben wir einen Widerspruch zur Definition von X 2 ' und ähnlich C ≤ X ~ widerspricht der Definition von X 1 ' .

Deshalb müssen wir haben F ( X ~ ) = 0.

Deshalb F kann seitdem nicht mehrere Wurzeln haben F wäre dann gleich 0 auf einem Intervall, das der Tatsache widerspricht, dass F wächst streng in einer Nachbarschaft seiner Wurzeln.

Sie haben die richtige Idee, aber Sie sind zu förmlich. So würde ich den Beweis schreiben: Beachten Sie, dass eine Wurzel impliziert, dass Sie vom Negativ zum Positiv oder umgekehrt übergehen müssen. Angenommen, wir haben eine Wurzel von F , nämlich X 1 . Nach Hypothese, F Ansätze X 1 von unten, also F ( X ) > 0 in einer richtigen Nachbarschaft von X 1 . Dann kann es keine Wurzel geben X 2 rechts von X 1 seit F annähern müsste X 2 von oben, was unsere Hypothese verletzt. Somit kann es bei einer gegebenen Wurzel keine weiteren Wurzeln rechts geben. Wenn es zwei Wurzeln gäbe, dann muss eine Wurzel dies verletzen, also sind wir fertig
Wenn Sie das, was ich geschrieben habe, wirklich formalisieren wollen, sollte das Folgende genügen: Um zu beweisen, dass in einer Umgebung einer Wurzel von positiv nach negativ oder umgekehrt übergegangen werden muss, können Sie den Zwischenwertsatz oder etwas Ähnliches verwenden (dies ist ein ziemlich einfaches Ergebnis), und die "Annäherung von oben/unten" kann in Form von Ungleichheiten weiter formalisiert werden F

Antworten (1)

Es sieht richtig aus, bis auf eine Sache. In Fall 1 schrieben Sie „Let X 1 < X 2 zwei Wurzeln sein, in denen keine andere Wurzel ist ( X 1 , X 2 ) .“ Was du danach geschrieben hast, ist in Ordnung. Aber dann schrieben Sie in Fall 2: „Beim ersten Teil können wir immer eine Wurzel von finden F zwischen zwei gegebenen Wurzeln von F “. Aber in Fall 1 hatten Sie eine zusätzliche Annahme, nämlich dass es keine Wurzel dazwischen gibt X 1 Und X 2 . Sie können Fall 1 also nicht auf zwei gegebene Wurzeln von anwenden F .

Mein Vorschlag ist dann folgender: Führen Sie Ihren Beweis in zwei Schritten durch:

  1. Beweisen Sie, dass zwischen zwei verschiedenen Wurzeln von F es muss eine andere Wurzel geben;
  2. Verwenden Sie dies, um zu beweisen, was Sie beweisen möchten.
Danke für deine Kommentare. Ich habe meinen Versuch bearbeitet Es sollte jetzt korrekt sein.
Es sieht jetzt richtig aus.
Sei fff stetig. Wenn f(x)=0⟹ff(x)=0⟹ff(x) = 0 \impliziert, dass f streng bei xxx wächst, dann ist fff höchstens eine Wurzel.
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