Inverse der streng steigenden Funktion ist stetig (Beweisverifikation)

Vermuten F : R → R streng ansteigend ist, beweisen Sie das F − 1 : F ( R ) → R ist kontinuierlich.

Hier mein Versuch:

Lassen A ∈ F ( R ) ein Grenzpunkt von sein F ( R ) und lass A N sei eine aufsteigende Folge mit Grenzwert A , das wollen wir zeigen F − 1 ( A N ) → F − 1 ( A ) .

(Lemma: X < j impliziert F − 1 ( X ) < F − 1 ( j ) .)

F − 1 ( A N ) ist eine aufsteigende Folge, die oben begrenzt ist durch F − 1 ( A ) es hat also eine grenze L . Wenn L > F − 1 ( A ) dann muss es welche geben k so dass F − 1 ( A k ) > F − 1 ( A ) Aber A k < A , ein Widerspruch. Wenn L < F − 1 ( A ) Dann F ( L ) < A also gibt es welche k so dass F ( L ) < A k < A , andeutend L < F − 1 ( A k ) , ein Widerspruch. Deshalb L = F − 1 ( A ) .

Das haben wir also bewiesen lim X → A − F − 1 ( X ) = F − 1 ( A ) .

Unter Verwendung des gleichen Beweises, wenn lim X → A + F − 1 ( X ) existiert dann ist es gleich F − 1 ( A ) .

Also für jeden Grenzpunkt A von F ( R ) genau eine der folgenden gilt:

  1. lim X → A − F − 1 ( X ) = F − 1 ( A ) und es gibt keine abnehmende Folge A N mit Begrenzung A .
  2. lim X → A + F − 1 ( X ) = F − 1 ( A ) und es gibt keine aufsteigende Folge A N mit Begrenzung A .
  3. lim X → A − F − 1 ( X ) = F − 1 ( A ) Und lim X → A + F − 1 ( X ) = F − 1 ( A )

So F − 1 : R → R ist kontinuierlich.

Ich bin verwirrt, wie mache ich (zB) lim X → A + existiert nicht impliziert, dass es kontinuierlich ist?
l ich M X → A + ist eine schlechte/falsche Art, es auszudrücken. Was ich meine, ist da, obwohl A ein Grenzwertpunkt ist, gibt es keine abnehmende Folge mit Grenzwert A . Ich werde es bearbeiten.
Ich denke, es ist richtig.

Antworten (1)

Ihr Beweis sieht korrekt aus, aber ich denke, er ist zu verworren. So würde ich argumentieren:

Lassen j 0 ∈ F ( R ) , sagen j = F ( X 0 ) , und lass ϵ > 0 .

Lassen j − = F ( X 0 − ϵ ) Und j + = F ( X 0 + ϵ ) .

Lassen δ = Mindest { j 0 − j − , j + − j 0 } , und beachten δ > 0 .

Dann für z ∈ F ( R ) , Wenn | z − j 0 | < δ Dann j − < z < j + und daher

F − 1 ( j − ) < F − 1 ( z ) < F − 1 ( j + ) ,
dh
X 0 − ϵ < F − 1 ( z ) < X 0 + ϵ ,
dh
| F − 1 ( z ) − F − 1 ( j 0 ) | < ϵ
und wir sind fertig.

Es hilft wahrscheinlich, auf einem Diagramm zu zeichnen, was vor sich geht F .

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