Funktionskontinuität - Nachweisprüfung

Dies ist Frage 11 in Abschnitt 5.1 der Einführung in die Realanalyse, vierte Ausgabe von Robert G. Bartle.

Fragestellung

Lassen K > 0 Und F : R → R die Bedingung erfüllen, dass | F ( X ) − F ( j ) | < K | X − j | für alle X , j ∈ R . Beweisen Sie, dass f in jedem Punkt stetig ist C ∈ R .

Mein Versuch: Let X , C ∈ R . Da der Zustand | F ( X ) − F ( j ) | < K | X − j | gilt für alle X , j ∈ R , es gilt für j = C Weil C ∈ R .

Lassen ϵ > 0 gegeben werden. Wählen δ = ϵ K > 0 . Dann wenn X ∈ R , Dann

| X − C | < δ ⟹ | F ( X ) − F ( C ) | < K | X − C | < K ϵ K = ϵ .
Seit ϵ Und C willkürlich waren, das haben wir F ist stetig bei jeder reellen Zahl C .

Könnte bitte jemand überprüfen, ob das so richtig ist? Danke schön.

Ja............

Antworten (1)

Ja. Dein Beweis ist richtig.

Aber ein anderer Ansatz, sequentiell kontinuierlich iff ϵ , δ kontinuierlich.

Lassen, ( X N ) sei eine beliebige Folge so dass ( X N ) → X

Dann,

| F ( X N ) − F ( X ) | ≤ K | X N − X | → 0  als  N → ∞

⟹ F ( X N ) → F ( X )

Somit, F ist an jedem Punkt stetig X ∈ R

Vielen Dank für die Überprüfung und für die Alternative!
Obwohl ich aufgrund des Beweises von Balkys die gewünschte Lösung erwarten würde, schätze ich, dass Sie an dieser Stelle im Buch eine benötigen würden ϵ , N Beweis statt " → ".
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