Würde der folgende Beweis, dass eine stetige Funktion fff aus einem kompakten Raum X→YX→YX\rightarrow Y gleichmäßig stetig ist, fehlschlagen?

Sowohl in den Vorlesungen als auch im Buch (Baby Rudin) ist der Beweis komplizierter, weshalb ich mich frage, ob der folgende, einfachere Beweis, den ich im Sinn hatte, nicht funktionieren würde. Wenn ja, könnte jemand erklären, warum es fehlschlägt?

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Satz : Sei$f:X\rightarrow Y$eine stetige Funktion aus einem kompakten metrischen Raum sein$X$Zu$Y$, Dann$f$ist gleichmäßig stetig.

Wählte$\epsilon >0$, durch Kontinuität für alle$x\in X$es existiert$\delta _x>0$so dass

$$d(x,x_0)<\delta _x\Rightarrow d(f(x),f(x_0))<\epsilon$$ für alle$x_0\in X$. Jetzt die Sammlung offener Bälle$N_{\delta _x}(x)$bildet eine offene Abdeckung von$X$, und muss daher (aus Kompaktheit) eine endliche Teilüberdeckung haben$\{ N_{\delta_{x_1}}(x_1),\ldots ,N_{\delta_{x_n}}(x_n)\}$.

Lassen$\delta = \min(\delta_{x_1},\ldots ,\delta_{x_n})$. Wählen$x\in X$, dann für alle$x_0\in X$wir haben

$$d(x,x_0)<\delta \Rightarrow d(x,x_0)<\delta_x\Rightarrow d(f(x),f(x_0))<\epsilon .$$