Kontinuierliche Funktion vs. gleichmäßig kontinuierliche Funktion

Generell für die Kontinuität, wenn wir schreiben$\delta,$das meinen wir$\delta=\delta(\epsilon,x_0),x_0\in D$. Ähnlich meinen wir für gleichmäßige Kontinuität$\delta=\delta(\epsilon)$. Diese Notation ist konsistent. Es ist selbstverständlich, dass wir die Situation verstehen, in der$\delta$verwiesen wird.

Nun zum Beispiel:
$f(x)=x^2$In$\mathbb{R}$ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. Aber$f(x)=x$ist gleichmäßig stetig in$\mathbb{R}$.

Beachten Sie, dass: Gleichmäßige Kontinuität$\implies$Kontinuität, aber die Umkehrung ist nicht wahr.

Kontinuität ist eine Bedingung für die Funktion für gegebene einzelne Punkte im Bereich, während einheitliche Kontinuität eine Bedingung für die Funktion für gegebene Punktpaare im Bereich ist. Oft ist man schlampig mit den Quantoren, aber Bedingungen gleichmäßiger Stetigkeit sollten mit zwei beginnen$\forall x_1 \forall x_2$und dann die$\exists \delta>0$. Die Bedingung für Stetigkeit hat nur eins bekommen$\forall x$Vor dem$\exists\delta>0$und eins danach.