Ist (R∗,d)(ℝ∗,d)(ℝ^*,d) vollständig wobei d(x,y)=|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y) =|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y)=|xy|+|x^{-1}-y^{-1}|?

Lassen$X=\mathbb{R}^*$Und$\forall(x,y)\in X^2$,$d(x,y)=|x-y|+|x^{-1}-y^{-1}|$. Ist$(X,d)$ein vollständiger metrischer Raum ?

Lassen$(a_n)$sei eine Cauchy-Folge auf$(X,d)$. Dann$\forall\epsilon>0,\exists n_\epsilon\in\mathbb N,p,q\geq n_\epsilon\implies d(a_p,a_q)<\epsilon$. Dies impliziert das$(a_n)$ist auch Cauchy auf$(X,d_1)$Und$(X,d_2)$Wo$d_1$ist die übliche Metrik auf$\mathbb R$Und$\forall(x,y)\in X^2, d_2(x,y)=|x^{-1}-y^{-1}|$.

Von dort aus überlege ich immer noch, ob ich ein Gegenbeispiel finden möchte, das zeigt, dass der anfängliche Raum nicht vollständig ist, oder ob ich zeigen möchte, dass eine Sequenz Cauchy im ursprünglichen Raum ist, mit der zusätzlichen Bedingung, dass sie möglicherweise nicht konvergieren kann$0$in welchem ​​Fall$(X,d)$sollte vollständig sein. Ich bin mir nicht sicher, ob es helfen kann, aber ich wurde zuvor gefragt, ob die Grafik von$x\in X\mapsto x^{-1}$wurde eingesperrt$(\mathbb R^2,\delta)$Wo$\delta$ist die übliche Metrik auf$\mathbb R^2$.