Beweisen Sie die folgende Aussage über metrische Räume und Vollständigkeit als falsch

Aussage :

Angesichts der Bedingung:

D ( X , j ) 2 ≤ G ( X , j ) ≤ D ( X , j )   ∀   X , j ∈ M

Wenn ( M , D ) ist dann fertig ( M , G ) ist komplett

Frage :

Beweisen Sie obige Aussage oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

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Ich habe ernsthafte Schwierigkeiten, 2 Abstandsfunktionen zu finden, die die obige Bedingung erfüllen, geschweige denn, ein Gegenbeispiel zu finden.

Ich habe die Abstandsfunktionen betrachtet

D ( X , j ) = { 0 ⟺ X = j 1 2 ⟺ X ≠ j

Und

G ( X , j ) = { 0 ⟺ X = j 1 3 ⟺ X ≠ j

Diese erfüllen die Bedingung aber beide sind in jedem Fall vollständig M vorausgesetzt 1 2 , 1 3 ∈ M

Kann jemand einen intuitiven und methodischen Ansatz erklären, um eine solche Antwort zu finden. Sogar mich zur Antwort zu führen, ohne sie mir explizit zu geben, ist in Ordnung. Ich wüsste nur gerne, wie ich das angehen könnte. Danke.

Diskrete Metriken und endliche Räume funktionieren nicht: Sie benötigen eine Sequenz, die in einer der beiden Metriken konvergiert.
Nebenbemerkung: Sie sagen "vorausgesetzt 1 2 , 1 3 ∈ M ", aber ich denke nicht, dass das notwendig ist? Warum denkst du, dass das wichtig ist?
Verzeihung. Ich bin davon ausgegangen, dass die Abstände in vorhanden sein müssen M was nicht wahr sein muss, wenn ich jetzt darüber nachdenke.

Antworten (2)

( X N ) Cauchy rein ( M , G ) ⟹ G ( X N , X M ) → 0 als N , M → ∞ ⟹

D ( X N , X M ) 2 ≤ G ( X N , X M ) → 0 ⟹ D ( X N , X M ) → 0 ⟹ X N ist ein Cauchy in ( M , D )

⟹ X N → X für einige X ∈ M ⟹ D ( X N , X ) → 0 als N → ∞

⟹ G ( X N , X ) ≤ D ( X N , X ) → 0 ⟹ X N → X In ( M , G )

Daher ( M , G ) ist komplett

Es gibt kein Gegenbeispiel, weil die Aussage wahr ist. Um zu zeigen, dass dies der Fall ist: Zeigen Sie zunächst, dass eine Folge in einer Metrik genau dann Cauchy ist, wenn sie in der anderen Cauchy ist. Als nächstes zeigen Sie das X N → X in einer Metrik iff X N → X in dem anderen.

Beweisen Sie die folgende Aussage über metrische Räume und Vollständigkeit als falsch
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