Welche der folgenden metrischen Räume sind vollständig?

[NBHM_2006_PhD Screening test_Topologie]

Welche der folgenden metrischen Räume sind vollständig?

  1. X 1 = ( 0 , 1 ) , D ( X , j ) = | bräunen ⁡ X − bräunen ⁡ j |

  2. X 2 = [ 0 , 1 ] , D ( X , j ) = | X − j | 1 + | X − j |

  3. X 3 = Q , D ( X , j ) = 1 ∀ X ≠ j

  4. X 4 = R , D ( X , j ) = | e X − e j |

2 ist vollständig, da eine abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raums vollständig ist und die Metrik auch unserer üblichen Metrik entspricht.

3 ist auch vollständig, da jede Cauchy-Folge letztendlich konstant ist und daher konvergiert.

4 ist nicht vollständig Ich bin mir sicher, aber ich kann kein Gegenbeispiel finden, nicht sicher bei 1. Vielen Dank für Ihre Hilfe.

Antworten (1)

Betrachten Sie für (1) die Folge ⟨ 1 2 N : N ∈ N ⟩ . Ist es D -Cauchy? Konvergiert es zu irgendetwas in X 1 ?

Was ist mit (4)? ⟨ − N : N ∈ N ⟩ ?

für 1 D ( 1 2 N , 0 ) = | bräunen ⁡ ( 1 2 N ) − 0 | → π / 2 und für 4, D ( − N , 0 ) = | 1 / e N − 1 | → 1 , beide sind in Bezug auf die angegebene Metrik ungenau.
@Geduld: Nein: bräunen ⁡ 1 2 N → 0 als N → ∞ . Aber in beiden Fällen verfehlen Sie den Punkt: Um zu sehen, ob die Folgen Cauchy sind, müssen Sie überlegen | X N − X M | .
oops sorry, beide sind kauzige seuence, konvergieren aber nicht im raum. als 0 wird vermisst.
Fast richtig: Sie sind beide Cauchy, und der erste konvergiert nicht im Raum, weil 0 wird vermisst; Letzteres konvergiert nicht R Weil R hat keinen linken Endpunkt.
Ich verstehe deinen letzten Satz nicht :(
@Patience: Es war eine nicht strenge Erklärung dafür, warum ⟨ − N : N ∈ Z + ⟩ konvergiert nicht R : wenn Sie sich nach links bewegen Z + , die Punkte kommen immer näher zusammen in Bezug auf D , aber es gibt keine − ∞ damit sie sich nähern. Für einen strengen Beweis dafür ⟨ − N : N ∈ Z + ⟩ konvergiert nicht R , Lass einfach X ∈ R , und zeigen Sie das jeweils ϵ > 0 es gibt unendlich viele N so dass D ( − N , X ) > ϵ , und zeigt das damit X ist nicht die Grenze der Sequenz.
@BrianM.Scott, ist hier nicht die Entfernung D ( X , j ) = | e X − e j | Seit | e − X − e − j | = | 1 / e X − 1 / e j | → 0 als X , j → ∞ Es scheint, als ob die Folge gegen 0 konvergiert.
@Freddy: Was Sie gezeigt haben, ist, dass die Sequenz Cauchy ist. Aber die Sequenz selbst hat keine Begrenzung R , das ist der Sinn des Beispiels.
Sorry für meine Verwirrung und danke!
@Freddy: Kein Problem: Es ist immer am besten, Verwirrungen aufzuklären. Gern geschehen!
@BrianM.Scott kann bitte jemand 4 nochmal erklären? es ist sehr schwer. Bitte
@SighMath: Die Sequenz ⟨ − N : N ∈ N ⟩ hat keine Begrenzung R . Für alle ϵ > 0 es gibt sicherlich eine M ϵ ∈ N so dass e − M ϵ < ϵ . Nehme an, dass k , N ≥ M ϵ . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen k ≤ N . Dann
D ( − k , − N ) = | e − k − e − N | = e − k − e − N < e − k ≤ e − M ϵ < ϵ ,
und wir haben gezeigt, dass die Folge ist D -Cauchy. Das heißt, es ist ein D -Cauchy-Folge, die nicht konvergiert, also D Ist nicht vollständig.
@BrianM.Scott Sir, ich bin Ihrem Hinweis gefolgt, D ( 1 2 N , 1 2 M ) = | T A N ( 1 2 N ) − T A N ( 1 2 M ) | = | T A N ( 1 2 N − 1 2 M ) ( 1 − T A N ( 1 2 N ) T A N ( 1 2 M ) ) | , die gegen konvergiert 0 als M , N neigt dazu ∞ . daher ist es klebrig. Habe ich recht? Wie man beweist, dass es nicht zu einem Punkt in konvergiert X 1 ? Bitte hilf mir.
@ManeeshNarayanan Ich habe versucht, im Chat zu antworten .
@MartinSleziak Ok, mein Herr. Ich verstehe. Wenn irgendein euklidischer Raum eine Funktion hat D : X × X → R gegeben ist. Ist nicht genug, um das gegeben zu zeigen D ist metrisch und der Unterraum ist vollständig? unter Verwendung der Tatsache, dass alle Normen in endlichen Vektorräumen äquivalent sind. Bin ich in die falsche Richtung gegangen?
@MartinSleziak Sir Bitte helfen Sie mir.
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie genau ich dir helfen soll. Warum betrittst du nicht den von mir vorgeschlagenen Chatroom @ManeeshNarayanan und erklärst klar, was das Problem ist?
@MartinSleziak Ich habe es mehrmals versucht. Ich kann im Chat nicht zwei tippen. Ich weiß nicht warum.
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