Wählen Sie den vollständigen metrischen Raum?

lassen$d(x,y)$sei die übliche euklidische Metrik auf$\mathbb{R}^2$.

Welcher der folgenden metrischen Räume ist vollständig?

1. $\mathbb{Q}^2 \subset \mathbb{R}^2$mit der Metrik$d(x,y)$

2. $(0,\infty) \times [0,\infty) \subset \mathbb{R}^2$mit der Metrik$d(x,y)$

3. $[0,1] \times [0,1) \subset \mathbb{R}^2$mit der Metrik$d''(x,y) = \min \{1,d(x,y)\}$.

4. keine von diesen

meine Versuche; ich weiß, dass$\mathbb{Q}$ist also kein vollständiger metrischer Raum$\mathbb{Q}^2$ist auch kein vollständiger metrischer Raum..so Option$1$ist nicht wahr ... und für die Option$2$

....$d(x,y)$kann vollständiger metrischer Raum sein oder nicht. nehme ich an

$d(x,y)= |e^x - e^y|$was nicht vollständig ist

jetzt die Option for$3$..$d''(x,y) = \min\{1,d(x,y)\} = 1$ist kompletter Raum

Da jede Cauchy-Folge konstant ist, ist sie konvergent. also das richtige

Antwort ist Option$3$Das$d''(x,y) = \min\{1,d(x,y)\}$ist ein vollständiger metrischer Raum.

Ist meine Antwort richtig oder nicht ... pliz verifiziert und sagen Sie mir die Lösung. Ich wäre dankbarer