Beweisen Sie, dass die folgenden drei Beschränktheitsbedingungen für metrische Räume/Teilfolgen äquivalent sind.

Angenommen, ich habe einen metrischen Raum ( M , D ) , Und A ist eine Teilmenge von M . Ich versuche zu beweisen, dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind.

( ∃ X ∈ M ) ( { D ( X , j ) : j ∈ A } ist begrenzt)

( ∀ X ∈ M ) ( { D ( X , j ) : j ∈ A } ist begrenzt)

( { D ( X , j ) : X Und j ∈ A } ist begrenzt)

Für die zweite Bedingung, die zur ersten führt, wenn überhaupt X ∈ M , { D ( X , j ) : j ∈ A } beschränkt ist, dann gibt es sicher mindestens eine X ∈ M so dass ( { D ( X , j ) : j ∈ A } ist begrenzt.

Für die letzte Bedingung, die zur ersten Bedingung führt, denke ich, wenn eine Abstandsfunktion existiert, bei der Punkte in A begrenzt sind, dann existiert ein Punkt X in M (also vermutlich auch in A) so, dass die Abstandsfunktion funktioniert D ( X , j ) ist begrenzt für j ∈ A

Gedanken zum formalen Nachweis der Äquivalenz?

Bearbeiten: Die zweite Bedingung, die der dritten entspricht, ist anscheinend komplizierter als das, was ich im Kommentar unten vorgeschlagen habe. (Die dritte Bedingung wurde mir folgendermaßen beschrieben: Für jeden beliebigen Punkt (x,y) in A ist die Menge der Abstände von (x,y) zu anderen Punkten in A beschränkt.)

Antworten (1)

Es klingt, als wüssten Sie, wie man es beweist ( ich ich ich ) ⟹ ( ich ) . Für ( ich ) ⟹ ( ich ich ) , lassen X 0 sei der Punkt darunter ( ich ) . Dann für alle X ∈ M Und j ∈ A , wir haben

D ( X , j ) ≤ D ( X , X 0 ) + D ( X 0 , j ) ≤ D ( X , X 0 ) + C ,
Wo C ist eine Konstante, unabhängig von j , nach Hypothese.

Sehen Sie, ob Sie damit umgehen können ( ich ich ) ⟹ ( ich ich ich ) .

Es scheint, als könnten wir sagen: Wenn ∀ X ∈ M bedeuten { D ( X , j ) : j ∈ A } beschränkt ist, dann gilt die gleiche Bedingung für Punkte X In A , wie sie auch enthalten sind M . Daher die Funktion D ( X , j ) ist für beide beschränkt X Und j In A . Daher ist (iii) wahr. Ich finde das ist nicht formal genug geschrieben, aber ist der Gedanke richtig?
@zuguzug Mein Ansatz für (ii) -> (iii) wäre auch die Dreiecksungleichung, aber ich sehe nicht, wie ich sie formal ausdrücken soll. Ich habe versucht, Bedingung drei in der Problemstellung erneut auszudrücken, um zu erklären, wo ich vereitelt werde.
@BobMcdonald: Für ( ich ich ) ⟹ ( ich ich ich ) : Nehmen z ∈ M . Dann für alle X , j ∈ A , wir haben D ( X , j ) ≤ D ( X , z ) + D ( z , j ) . Von ( ich ich ) , Es existiert eine Schranke, die davon abhängt z (aber nicht X Und j ) so dass D ( X , z ) ≤ C ( z ) Und D ( z , j ) = D ( j , z ) ≤ C ( z ) . Somit, D ( X , j ) ≤ 2 C ( z ) , was eindeutig eine obere Grenze ist, die nicht davon abhängt X , j .
Beweisen Sie, dass die folgenden drei Beschränktheitsbedingungen für metrische Räume/Teilfolgen äquivalent sind.
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