Zeigt, dass wenn eine Teilmenge eines vollständigen metrischen Raums abgeschlossen ist, dieser auch vollständig ist

Um dies zu zeigen, muss man mit einer Cauchy-Folge beginnen, nicht mit einer konvergenten Folge. Lassen$(x_n)$sei eine Cauchy-Folge in$A$. Dann$(x_n)$ist eine Cauchy-Folge in$X$. Seit$X$ist komplett,$x_n\to x$für einige$x\in X$. Seit$A$ist geschlossen,$x\in A$. Somit$A$ist komplett.

Lassen$(M,d)$ein vollständiger metrischer Raum sein und lassen$A \subseteq M$. Vermuten$A$ist geschlossen.

Beanspruchen. $(A,d)$ist komplett.

Nachweisen. Lassen$(x_n)$sei eine Cauchy-Folge in$A$. Dann$(x_n)$ist eine Cauchy-Folge in$(M,d)$(trivial zu überprüfen). So$x_n \to x \in M$. Aber$A$abgeschlossen ist, also alle seine Grenzwerte enthält. So$x \in A$. Somit,$(A,d)$ist komplett.

Hier versteht es sich, dass die Metrik, die auf der Teilmenge verwendet wird, sagen$N$ist die gleiche wie die, die auf verwendet wird$M$, das Superset. Lassen$(x_n)$sei eine Folge (Cauchy) in$N$. Betrachten Sie es als eine Sequenz in$M$, es ist immer noch eine Cauchy-Folge in$M$, und so seitdem$M$vollständig ist, konvergiert es in$M$(sagen zu$x$). Seit,$x_n$gehört$N$Und$x_n \to x$Und$N$geschlossen ist (alle Akkumulations-/Clusterpunkte sind enthalten in$N$),$x$gehört$N$. Daher$(x_n)$konvergiert ein$N$, und so$N$ist komplett.

Hinweis: Sie sind auf dem richtigen Weg, glaube ich. Jede Cauchy-Folge konvergiert gegen einige$b\in X$.

Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raums X. Betrachte eine Cauchy-Folge$(x_n)$in A. Diese Folge ist auch in X cauchy und damit konvergent, da X vollständig ist. Lassen$x_n \to x$Wo$x \in X$. Dies ist ein Grenzpunkt von A und A, das geschlossen ist, enthält seine Grenzpunkte. Daher,$x \in A$.