Beispiel für fff stetig auf einem vollständig begrenzten metrischen Raum XXX, wobei f(X)f(X)f(X) nicht vollständig begrenzt ist

Lassen$X$ein vollständig beschränkter metrischer Raum sein. Wenn$f$ist eine gleichmäßig stetige Abbildung aus$X$zu einem metrischen Raum$Y$, zeige, dass$f(X)$ist total begrenzt. Gilt das gleiche, wenn$f$muss nur kontinuierlich sein?

Ich habe den ersten Teil bekommen, aber jetzt hänge ich am zweiten Teil fest. Ich denke, die Antwort ist nein, und ich denke$f(x) = \frac{1}{x}$mit$X = (0,1]$wäre ein Gegenbeispiel, aber ich habe Mühe zu zeigen, dass es nicht vollständig begrenzt ist

EDIT: Ähnlich, wenn$X$ist fertig u$f$kontinuierlich, stimmt das$f(X)$ist komplett? Auch hier denke ich, dass die Antwort nein ist, aber ich habe Probleme, hier ein Beispiel zu finden