Beweisen Sie, dass h:S→R2h:S→R2h:S \rightarrow \mathbb R^2 definiert ist durch h(s)=(f(s),g(s))h(s)=(f(s),g (s))h(s)=(f(s),g(s)) ist auf SSS gleichmäßig stetig.

Lassen$(S,d)$ein metrischer Raum sein. Annehmen, dass$f:S \rightarrow \mathbb R$Und$g:S \rightarrow \mathbb R$sind gleichmäßig kontinuierlich an$S$. Beweise das$h:S \rightarrow \mathbb R^2$definiert von$h(s)=(f(s),g(s))$ist gleichmäßig kontinuierlich an$S$Wo$\mathbb R^2$hat die euklidische Metrik.

Ich weiß per Definition, dass für metrische Räume$(S,d), (S^*,d^*)$Wenn$f:S \rightarrow S^*$ist gleichmäßig kontinuierlich an$S$, dann für jeden$\epsilon > 0$, es existiert ein$\delta>0$so dass$s,t \in S$Und$d(s,t)<\delta$implizieren das$d^*(f(s),f(t))<\epsilon$

Das heißt also für$f,g$, wir haben diese Eigenschaft. Somit gegeben$\epsilon$nehmen wir an, wir haben$s,t \in S$Und$d(s,t)<\delta$, Dann$d^*((f(s),g(s)), (f(t),g(t)))=\sqrt {(f(s)-f(t))^2-(g(s)-g(t))^2}$.

Ich denke, was ich bisher habe, ist richtig, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich weiter vorgehen soll.