Ein Versuch zu beweisen, dass "eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall (I) gleichmäßig stetig ist"

Ich kenne einige der Standardbeweise der Aussage. Ich habe jedoch versucht, einen Beweis zu konstruieren, der am besten zu meiner natürlichen Intuition passt. Dazu gegeben ε > 0 , definiere ich eine Funktion

δ ∗ ( C ) = sup { δ : | X − C | < δ ⟹ | F ( X ) − F ( C ) | < ε } .

Lassen δ ( ε ) = inf { δ ∗ ( C ) : C ∈ ICH } . Wenn δ ∗ kontinuierlich ist dann das Infimum δ ( ε ) erreicht würde und daher nicht Null ist (andernfalls wäre die Funktion an diesem Punkt nicht stetig). Und, | X − j | < δ ( ε ) ⟹ | F ( X ) − F ( j ) | < ε , was eine gleichmäßige Kontinuität beweist. Allerdings finde ich es sehr schwierig, das zu beweisen δ ∗ ist kontinuierlich. Könnte mir jemand helfen zu beweisen δ ∗ ist kontinuierlich? Wenn δ ∗ ist nicht unbedingt kontinuierlich, können Sie ein Beispiel geben?

Vielen Dank im Voraus.

Antworten (1)

Die Funktion δ ∗ muss nicht kontinuierlich sein. Fix 0 < ε < 1 , und überlegen F : [ − 10 , 10 ] → R definiert von

F ( X ) = { − 3 4 ε Wenn  X ⩽ − 3 4 ε , X Wenn  | X | ⩽ 3 4 ε , + 3 4 ε Wenn  X ⩾ 3 4 ε .
Dann δ ∗ ( C ) = ε für − 3 4 ε ⩽ C ⩽ − 1 4 ε , Aber δ ∗ ( C ) = 10 − | C | für | C | < 1 4 ε .

Allerdings – ich bin mir nicht sicher, ob das für Sie nützlich sein wird – es ist ziemlich einfach, das zu zeigen δ ∗ ist unterhalbkontinuierlich , und das impliziert das δ ∗ erreicht sein Infimum (auf kompakten Sets), was daher streng positiv ist. Wenn Sie sich mit Semikontinuität auskennen, hilft dies, sonst wahrscheinlich nicht.

Danke. Das Beispiel ist wirklich genial. Ich bin mit unterer Semikontinuität vertraut und kann beweisen, dass untere semikontinuierliche Funktionen auf kompakten Mengen ihr Minimum erreichen. Das kann ich aber nicht einsehen δ ∗ ist unterhalbstetig. Ein Hinweis könnte helfen.
Fix C , lassen D = δ ∗ ( C ) , Und 0 < D < D . Dann setzen η = max { | F ( X ) − F ( C ) | : | X − C | ⩽ ( D + D ) / 2 } . Beachten Sie, dass η < ε . Für | j − C | < ( D − D ) / 2 Und | X − j | ⩽ D , wir haben | F ( X ) − F ( j ) | ⩽ | F ( X ) − F ( C ) | + | F ( C ) − F ( j ) | ⩽ η + | F ( C ) − F ( j ) | .
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