Zeigen Sie, dass f=gf=gf = g wenn f,g:R→Rf,g:ℝ→ℝf,g : ℝ→ℝ stetig sind und f↾Q=g↾Qf↾ℚ=g↾ℚf↾ℚ = g↾ ℚ

Geben Sie hier die Bildbeschreibung einLassen F : R → R Und G : R → R zwei stetige Funktionen sein. Nehme an, dass F ( X ) = G ( X ) für alle X ∈ Q . Zeige, dass F ( X ) = G ( X ) für alle X ∈ R .

Für die Frage habe ich h(x)=f(x)-g(x) definiert. Für jedes gegebene y und δ gibt es x∈R, so dass |x−y|<δ. Für jedes gegebene ϵ gilt, da h stetig ist, h(y)−h(x)=h(y)<ϵ. Ich habe hier irgendwie nur ausgeblendet, da ich an dieser Stelle hauptsächlich aus Bucherklärungen abgeschrieben habe, wo ich meine ϵ und δ habe, aber nicht weiß, wie ich diese nehmen soll, um zu zeigen, dass sie gleich sind.

Von den Hinweisen hier habe ich meine versuchte Lösung angehängt, falls jemand darüber hinwegsehen möchte, nicht sicher, ob ich sie vollständig verstanden habe.

Vielen Dank für die Hilfe :)

Schauen Sie sich math.stackexchange.com/help/notation an und formulieren Sie Ihre Frage entsprechend neu.
Hallo und willkommen auf der Seite! Da dies eine Seite ist, die zum Lernen anregt und hilft, ist es am besten, wenn Sie Ihre eigenen Ideen und Bemühungen bei der Lösung der Frage zeigen. Können Sie Ihre Frage bearbeiten, um Ihre Gedanken und Ideen dazu hinzuzufügen? Warum denken Sie zum Beispiel, dass die Logik von Frage 2 "zirkulär" ist? Machen Sie sich keine Sorgen, wenn es falsch ist – dafür sind wir da. Hier ist eine Kurzanleitung: math.meta.stackexchange.com/questions/9959/…
Lassen Sie sich auch nicht von der Ablehnung entmutigen. Ich habe die Frage abgelehnt und dafür gestimmt, sie zu schließen, weil sie im Moment nicht den Site-Standards entspricht (Sie haben keine Arbeit gezeigt, die Sie selbst gemacht haben). Wenn Sie Ihre Frage so bearbeiten, dass Sie zeigen, was Sie versucht haben und wie weit Sie gekommen sind, werde ich nicht nur die Ablehnung entfernen, sondern auch eine Aufwertung hinzufügen. Auch wenn die Frage geschlossen ist, können Sie sie noch bearbeiten, und wir werden dafür stimmen, sie wieder zu öffnen.
Ach und noch was. Beachten Sie, dass ich Ihre Frage bearbeitet habe, um die Formatierung zu verbessern. Es wird dringend empfohlen, dass Sie Mathjax verwenden, um Ihre Fragen auf dieser Seite zu formatieren - es ist wie LaTeX für das Web. Ich habe Ihre Frage dieses Mal bearbeitet, da Sie neu sind, aber formatieren Sie die Frage in Zukunft bitte selbst. Eine Kurzanleitung finden Sie hier: math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…
Danke für die Hilfe, ich zeige meine Arbeit jetzt unten mit einer Bearbeitung, und keine Sorge wegen der Ablehnung, ich bin sicher, Sie versuchen, die Website sauber zu halten usw. Danke für die Rückmeldung! :)
Ich werde heute Abend versuchen, die Formatierung zu lernen, ich muss es sowieso für das nächste Jahr tun, und diese Seite scheint großartig zu sein, um die Notation zu erklären.
Sie schrieben: „Es gibt X ∈ D ", was ist D ? Da ist kein D im Problem. Kopieren Sie nicht einfach blind andere Proofs.
Du bist genau richtig, Kumpel, tut mir leid, ich habe ziemlich blind Lehrbuchbeispielen gefolgt, um zu diesem Punkt zu gelangen. Denke, mit den Kommentaren habe ich es geschafft, es besser zu machen, danke für die Hilfe

Antworten (2)

Tipp: Lass X ∈ R . Aus der Dichte von Q Sie können eine Sequenz finden ( Q N ) ⊆ Q so dass Q N → X . Können Sie die Kontinuität von verwenden F Und G um das zu schließen F ( X ) = G ( X ) ? Beachten Sie, dass Sie ersetzen können Q mit jeder dichten Teilmenge von R .

Der erste Schritt ist gut: Set H = F − G , und jetzt müssen Sie das beweisen, wenn H ist stetig und H ( X ) = 0 für alle X ∈ Q , Dann H ( X ) = 0 für alle X ∈ R .

Lassen X ∈ R . Lassen Sie uns beweisen H ( X ) = 0 .

Lassen ε > 0 willkürlich sein. Seit H stetig ist, gibt es a δ > 0 so dass für alle j ∈ ( X − δ , X + δ ) , wir haben | H ( X ) − H ( j ) | < ε . Wir dürfen wählen j also rational sein H ( j ) = 0 , und so | H ( X ) | < ε .

Seit ε war willkürlich, das beweist das H ( X ) = 0 .

Hi, danke für deine Antwort, ging es im Anhang etwas anders an, aber ich denke, es endete am selben Ort?
@Joe Danke für die Bearbeitung zur Korrektur von Grammatikfehlern. Ich mache eine Änderung rückgängig, weil ich denke, dass sie die Logik der Antwort ein wenig verändert hat. Es ist wichtig zu beachten, dass Sie wählen können j rational. Sie schrieben „Wenn j ist rational ...", aber was, wenn nicht? Außerdem ist mir aufgefallen, dass Sie \epsilon durch \varepsilon geändert haben, aber nicht konsistent.
@jwsedfWEFd Bitte keine Bilder posten.
@jjagmath: Kein Problem! Es tut mir leid, dass ich mich nicht geändert habe ϵ Zu ε konsequent, und ich verstehe Ihren Punkt über die Auswahl j vernünftig sein. Ich habe meine Antwort gelöscht, weil ich denke, dass sie im Wesentlichen mit Ihrer übereinstimmt, außer dass es sich um einen indirekten Beweis handelt, der nicht optimal ist.
Entschuldigung, ich kannte Latex nicht, dachte, ein Bild wäre besser, ich habe ein rationales y genommen, weil g (q) = f (q) für alle x EQ in der Frage steht, ist das falsch?
Tut mir wirklich leid wegen der schlechten Formatierung
Zeigen Sie, dass f=gf=gf = g wenn f,g:R→Rf,g:ℝ→ℝf,g : ℝ→ℝ stetig sind und f↾Q=g↾Qf↾ℚ=g↾ℚf↾ℚ = g↾ ℚ
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