Beweisen Sie, dass eine nicht konstante kontinuierliche Funktion auf einem kompakten Intervall mindestens ein nicht lokales Extremum zulassen muss

Wenn F : [ A , B ] → R stetig und nicht konstant ist, beweisen Sie, dass mindestens einer X 0 ∈ [ A , B ] ist KEIN lokales Extremum.

Dieser Vorschlag ist nicht so trivial, wie es scheint. Zum Beispiel im Fall der Cantor-Funktion, F hat keine Ableitung ae, also fast alle X ∈ [ 0 , 1 ] ist ein lokales Extremum für F . Tatsächlich kann ich nicht einmal zeigen, dass es kein Gegenbeispiel für die Behauptung ist. (Aufgrund der Monotonie ist jeder rationale Punkt in der Cantor-Menge auch ein lokales Extremum für die Cantor-Funktion, da er an ein offenes Intervall grenzt, in dem die Funktion keine Ableitung hat. Die einzigen Kandidaten für nicht lokale Extrema sind also unter den "schlechten" ( irrationale) Punkte, die schwer zu analysieren sind.)

Vielen Dank für Ihre Hilfe.

Da Sie nach einem Beweis fragen und nicht, ob die Aussage wahr ist, könnten Sie erklären, warum Sie davon überzeugt sind, dass sie wahr ist?
@Bib-lost es ist von einer Prüfung.

Antworten (1)

Gehen Sie davon aus, dass jeder Punkt in [ 0 , 1 ] ist ein lokales Extremum.

Lassen ( A N ) sei die Sammlung aller offenen Bälle, die auf einige zentriert sind X ∈ [ 0 , 1 ] ∩ Q und mit rationalem Radius, und lassen B N := A N ∩ [ 0 , 1 ] .

Für jeden N Betrachten wir die Mengen

C N := { X ∈ B N :   F ( X ) ≤ F ( j )   ∀ j ∈ B N } , D N := { X ∈ B N :   F ( X ) ≥ F ( j )   ∀ j ∈ B N } .
Deutlich, F ist jeweils konstant C N und jede D N .

Darüber hinaus nach Annahme jeder X ∈ [ 0 , 1 ] gehört einigen C N oder D N , dh

[ 0 , 1 ] = ⋃ N ( C N ∪ D N ) .
Somit F ( [ 0 , 1 ] ) ist eine abzählbare Menge, und sie ist zusammenhängend (weil F stetig ist), also muss es ein Singleton sein.

Beweisen Sie, dass eine nicht konstante kontinuierliche Funktion auf einem kompakten Intervall mindestens ein nicht lokales Extremum zulassen muss
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