Bildet eine stetige Funktion Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen ab?

Ich lerne Real Analysis anhand des Textes Understanding Analysis von Stephen Abbott. Ich möchte, dass jemand überprüft, ob meine Beweise/Gegenbeispiele zur folgenden Übung streng und korrekt sind.

[Abbott, 4.4.6] Nennen Sie jeweils ein Beispiel für Folgendes oder sagen Sie, dass eine solche Anfrage unmöglich ist. Geben Sie für alle Fälle, die nicht möglich sind, eine kurze Erklärung an, warum dies der Fall ist.

(a) Eine stetige Funktion F : ( 0 , 1 ) → R und eine Cauchy-Folge ( X N ) so dass F ( X N ) ist keine Cauchy-Folge.

(b) Eine gleichmäßig stetige Funktion F : ( 0 , 1 ) → R und eine Cauchy-Folge ( X N ) so dass F ( X N ) ist nicht Cauchy.

(c) Eine stetige Funktion F : [ 0 , ∞ ) → R und eine Cauchy-Folge ( X N ) so dass F ( X N ) ist keine Cauchy-Folge.

Nachweisen.

(a) Bedenke F ( X ) = 1 X definiert und kontinuierlich an ( 0 , 1 ) .

Lassen ( X N ) = 1 N sei eine Cauchy-Folge in ( 0 , 1 ) , Wo ( X N ) → 0 .

F ( X N ) ist eine unbeschränkte Folge, also nicht Cauchy.

(b) Diese Anfrage ist unmöglich.

Vermuten ( X N ) ist eine Cauchy-Folge in ( 0 , 1 ) . Dann für alle δ > 0 , es existiert N ∈ N , | X N − X M | < δ für alle N > M ≥ N .

Seit F ist für alle gleichmäßig stetig ϵ > 0 , es existiert δ > 0 , so dass für alle Punkte X , j befriedigend | X − j | < δ , wir haben | F ( X ) − F ( j ) | < ϵ .

Folglich für alle ϵ > 0 , es existiert N ∈ N , so dass | F ( X N ) − F ( X M ) | < ϵ für alle N > M ≥ N .

So, F ( X N ) ist Cauchy.

(c) Diese Anfrage ist unmöglich.

[ 0 , ∞ ) ist eine abgeschlossene Menge. Für alle Cauchy-Folgen ( X N ) ⊆ [ 0 , ∞ ) so dass ( X N ) → C , die Bildfolge F ( X N ) → F ( C ) . So, F ( X N ) ist Cauchy.

Also, was ist die Regel: Fortsetzung F : A → R bildet Cauchy auf Cauchy ab, wenn ( F ist einheitlich cont und A offen ist)-oder-(wenn A ist geschlossen)?

Antworten (2)

Ihre Antworten sind richtig. Die Begründung für die dritte Antwort ist jedoch nicht gut geschrieben. Ich würde es wie folgt formulieren:

Wenn ( X N ) N ∈ N ist eine Cauchy-Folge von Elementen von [ 0 , ∞ ) , dann konvergiert es zu einigen C ∈ R und da [ 0 , ∞ ) ist eine abgeschlossene Teilmenge von R , C ∈ [ 0 , ∞ ) . Also seit F ist kontinuierlich, lim N → ∞ F ( X N ) = F ( C ) und die Tatsache, dass ( F ( X N ) ) N ∈ N konvergiert impliziert, dass es sich um eine Cauchy-Folge handelt.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, wenn zu sagen ( X N ) N ∈ N eine Cauchy-Folge ist, dann ist sie beschränkt. Also für manche M ∈ [ 0 , ∞ ) , ( ∀ N ∈ N ) : X N ∈ [ 0 , M ] . Aber die Einschränkung von F Zu [ 0 , M ] ist gleichmäßig stetig, und gleichmäßig stetige Funktionen bilden Cauchy-Folgen in Cauchy-Folgen ab.

Also, was ist die Regel: Fortsetzung F : A → R bildet Cauchy auf Cauchy ab, wenn ( F ist einheitlich cont und A offen ist)-oder-(wenn A ist geschlossen)?
Jede gleichmäßig stetige Abbildung aus einer Teilmenge A von R hinein R bildet die Cauchy-Folge in Cauchy-Folgen ab.
ist meine aussage falsch?
@BCLC Nein. Ich habe dir gerade gesagt, dass wenn F gleichmäßig stetig ist, muss keine weitere Bedingung hinzugefügt werden.
es ist keine zusätzliche Bedingung ... es ist eine andere Bedingung ...? Ich frage nach A ist aber geschlossen F ist nicht unbedingt gleichmäßig stetig ...? warten ist kontinuierlich F auf einer abgeschlossenen Menge notwendig gleichmäßig stetig?
@BCLC Ja, jede kontinuierliche Funktion aus einem Intervall [ A , B ] hinein R ist gleichmäßig stetig.
José Carlos Santos ah verdammt freudianischer Ausrutscher lol. Ich kannte die Intervallsache, aber ich wollte nach geschlossenen Sätzen fragen. bearbeiteter Kommentar. ist Forts F auf geschlossener Menge aber nicht notwendigerweise geschlossenem Intervall notwendigerweise gleichmäßig kontinuierlich? Ich denke, kontinuierlich auf geschlossen, aber unbegrenzt ist nicht unbedingt einheitlich iirc. Daher möchte ich jetzt wissen, ob eine Cauchy-Erhaltung durch uneinheitlichen cont impliziert wird, aber A ist geschlossen
@BCLC Wenn A ist eine abgeschlossene Teilmenge von R Und F : A ⟶ R ist dann stetig F möglicherweise nicht gleichmäßig kontinuierlich (nehmen Sie zum Beispiel A = R Und F ( X ) = X ), bildet aber immer noch Cauchy-Folgen in Cauchy-Folgen ab. Weil wenn ( X N ) N ∈ N eine Cauchy-Folge ist, dann konvergiert sie gegen einige X und da A ist geschlossen, X ∈ A . Und jetzt die Kontinuität von F impliziert, dass lim N → ∞ F ( X N ) = F ( X ) . Und die Reihenfolge ( F ( X N ) ) N ∈ N ist eine Cauchy-Folge, da sie konvergiert.
stimmt ja das dachte ich mir. Danke

Die Schrift auf b könnte etwas verbessert werden. Sie möchten damit beginnen ϵ , verwenden Sie die gleichmäßige Stetigkeit, um zu erhalten δ , und verwenden Sie dann, dass die Sequenz Cauchy ist, um zu erhalten N dafür speziell δ . Die Notwendigkeit dafür ist leichter zu erkennen, wenn man das erkennt N kommt drauf an δ Und δ kommt drauf an ϵ .

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