Mein Beweis: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Lassen ( X N ) N ∈ N eine reelle Folge sein.

Bestimmung 1. ( X N ) Ist konvergent wenn es eine gibt X ∈ R so dass, für jeden ε ∈ R mit ε > 0 , Da ist ein N ∈ N so dass, für jeden N ∈ N mit N > N , wir haben | X N − X | < ε .

Bestimmung 2. ( X N ) ist ein Cauchy-Folge iff, für jeden ε ∈ R mit ε > 0 , Da ist ein N ∈ N so dass, für jeden M , N ∈ N mit M , N > N , wir haben | X M − X N | < ε .

Satz. Wenn ( X N ) konvergent ist, dann ist es eine Cauchy-Folge.

Beweis : Seit ( X N ) → X wir haben die folgenden für einige ε 1 , ε 2 > 0 es existiert N 1 , N 2 ∈ N so für alle N 1 > N 1 Und N 2 > N 2 Folgendes gilt

| X N 1 − X | < ε 1 | X N 2 − X | < ε 2
Also wird beides für alle gelten N 1 , N 2 > max ( N 1 , N 2 ) = N , sagen ε = max ( ε 1 , ε 2 ) Dann
| X N 1 − X − ( X N 2 − X ) | < ε ⟹ | X N 1 − X N 2 | < ε
Daher sind alle konvergenten Folgen Cauchy.

Ist dieser Beweis richtig? Ich habe diese Frage auch gesehen und einen Teil des Inhalts (Definition und Theorem) von dort kopiert. https://math.stackexchange.com/q/1105255

Nein. Der Beweis hat einen schwerwiegenden Fehler. Keine der Definitionen besagt, dass ein Epsilon existiert, das tut, was Sie wollen. Beide sagen, dass ALLE Epsilons tun, was Sie wollen. Sie können also sicherlich nicht sagen, dass epsilon = max. Sie müssen zuerst Epsilon definieren .
Ja, das sehe ich jetzt.
Vielleicht war ich zu hart. Ihr Beweis ist insofern fehlerhaft, als er nach einem bestimmten sucht, anstatt mit dem Allgemeinen zu beginnen. Aber die Mechanik ist größtenteils gut. Der Beweis ist also wiederherstellbar, wenn Sie ihn wiederholen.

Antworten (2)

Die Idee ist richtig, aber die Ausführung lässt ein paar Punkte vermissen.

Also wird beides für alle gelten N 1 , N 2 > M A X ( N 1 , N 2 ) = N , sagen ϵ = M A X ( ϵ 1 , ϵ 2 )

Technisch ϵ ist gegeben, man kann es sich nicht aussuchen.

Dann | X N 1 − X − ( X N 2 − X ) | < ϵ ⟹ | X N 1 − X N 2 | < ϵ

Das RHS folgt aus der genannten Prämisse nicht | X N 1 − X | < ϵ 1 Und | X N 2 − X | < ϵ 2 . Bestenfalls aus der Dreiecksungleichung:

| X N 1 − X N 2 | = | ( X N 1 − X ) − ( X N 2 − X ) | ≤ | X N 1 − X | + | X N 2 − X | < ϵ 1 + ϵ 2

Um es zu beheben, nehmen Sie einfach an ϵ gegeben ist, wähle ϵ 1 = ϵ 2 = ϵ / 2 , dann weiter auf der gleichen Linie.

Ich denke, es ist erwähnenswert, dass die geschriebene Implikation folgt , aber die implizite Implikation
| X N 1 − X | < ϵ 1  Und  | X N 2 − X | < ϵ 2 ⟹ | X N 1 − X − ( X N 2 − X ) | < ϵ
ist ungültig.
@TheoBendit können Sie bitte mit einem Gegenbeispiel erklären, warum diese Implikation nicht gültig ist
@TheoBendit Fairer Punkt, danke. Die Antwort wurde aktualisiert, um dies klarzustellen.
Okay, ich habe es verstanden, danke an euch alle.
@PiyushDivyanakar Ich weiß, dass du es gerade verstanden hast, aber hier ist das Gegenbeispiel, das ich gerade posten wollte: Take ϵ 1 = ϵ 2 = 1 (somit ϵ = 1 ), X = 0 , X N 1 = 0,75 , Und X N 2 = − 0,75 .
@PiyushDivyanakar Oder, wenn du jemanden wirklich ärgern wolltest, könntest du nehmen ϵ 1 = ϵ / π Und ϵ 2 = ( 1 − 1 / π ) ϵ ;-) Punkt ist, dass es keine eindeutige Auswahl gibt ϵ 1 , 2 in solchen Fällen, aber Sie würden normalerweise mit dem gehen, was am einfachsten und offensichtlichsten ist.
LOL. Ich liebe diese Seite wirklich.

Das sollte für einige nicht sein ϵ 1 , ϵ 2 > 0 . Vielmehr legt man eine Willkür fest ϵ > 0 , und wir finden N 1 , N 2 so dass | X N 1 − X | < ϵ / 2 Und | X N 2 − X | < ϵ / 2 für alle N 1 > N 1 , N 2 > N 2 .

Für alle N 1 , N 2 > max ( N 1 , N 2 ) , Dann | X N 1 − X N 2 | = | X N 1 − X − ( X N 2 − X ) | ≤ | X N 1 − X | + | X N 2 − X | < ϵ / 2 + ϵ / 2 = ϵ .

Eigentlich nur eine N wofür | X N − X | < ϵ / 2 , N ≥ N reicht.

Wenn ich mich nicht irre, dann braucht man eigentlich nur einen N so dass | X N − X | < ε / 2 für alle N > N , Rechts? Es besteht keine Notwendigkeit N 1 Und N 2 und nimm das max.
Ja, stimmt, ich habe nur befolgt, was OP geschrieben hat.
Mein Beweis: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
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