Beweisen Sie, dass jede Teilfolge einer konvergenten reellen Folge gegen denselben Grenzwert konvergiert.

Hier ist die Aussage, die ich beweisen möchte:

Lassen { A N } N = 1 ∞ eine Folge reeller Zahlen sein, die gegen eine reelle Zahl konvergiert L . Dann jede Folge { A N k } k = 1 ∞ konvergiert zu L .

Beweisversuch:

Lassen ϵ > 0 willkürlich, aber fest sein. Wir müssen Folgendes nachweisen:

∃ K ∈ N : ∀ k ≥ K : | A N k − L | < ϵ

Wir wissen, dass es eine gibt N 0 ∈ N so dass:

∀ N ≥ N 0 : | A N − L | < ϵ

Seit { N k } k = 1 ∞ eine streng wachsende Folge natürlicher Zahlen ist, dann gilt:

∃ K ∈ N : ∀ k ≥ K : N k ≥ N 0

⟹ ∃ K ∈ N : ∀ k ≥ K : | A N k − L | < ϵ

das ist genau die Behauptung, dass lim k → ∞ ( A N k ) = L . Das beweist das gewünschte Ergebnis.

Ist der obige Beweis richtig? Wenn nicht, warum? Wie kann ich es reparieren?

Sieht gut für mich aus
Vielen Dank!
Es ist etwas schneller, wenn Sie davon Gebrauch machen N k ≥ k weil es eine streng steigende positive ganze Folge ist.
Ja, das ist der Ansatz, den mein Buch verfolgt. Ich las seine Lösung, nachdem ich die Bestätigung erhalten hatte, dass meine richtig war. Ich weiß nicht wirklich, wie ich auf schnelle und einfache Lösungen wie diese denken soll lol.
Hier ist noch eins zum Ausprobieren: Angenommen A N ist eine Folge, bei der jede Teilfolge eine weitere Teilfolge hat, gegen die konvergiert L . Beweise das A N → L . Dies ist ein überraschend nützliches technisches Lemma.
Niceeee, ich werde einen Beweis dafür posten, wenn ich es aufarbeite. Sehen Sie sich meine Argumentation an? Das sieht nach einer coolen Frage aus.

Antworten (1)

Dein Beweis ist richtig. Tatsächlich könnten Sie Ihren Beweis verwenden, um eine Methode abzuleiten, um eine explizit geeignete zu finden K für jede ϵ , für die Teilsequenz, wenn eine Methode für die Sequenz selbst gegeben ist.

Schön, vielen Dank. Im Wesentlichen habe ich also auch einen Algorithmus für die Auswahl abgeleitet K für jeweils gegeben ϵ . Das klingt ziemlich cool, wäre es wichtig für andere Dinge, die ich in Analysis sehen werde? Außerdem werde ich Ihre Antwort so schnell wie möglich annehmen. Es lässt mich jetzt nicht tun.
Ich denke, es könnte eine Rolle spielen, wenn Sie sich für Konvergenzgeschwindigkeiten interessieren. Aber ich bin mir nicht sicher, ob das bei Untersequenzen so oft vorkommt.
@AbhijeetVats Aber ich denke, dass sich das Buch, in dem Sie Ihre Übung gefunden haben, mit allgemeineren Fakten in Topologie und Analyse befasst. Sie müssen sich also wahrscheinlich noch keine Gedanken über die Konvergenzgeschwindigkeit machen.
Ja, Mathematische Analyse von Bernd Schröder. Ich bin mir nicht sicher, ob es um dieses Zeug geht, weil ich nicht zu weit drin bin. Ich werde sehen, ob ich ein bisschen mehr darüber lesen kann, was Sie erwähnt haben. Wenn Sie "Konvergenzgeschwindigkeiten" sagen, meinen Sie wohl, wie schnell etwas konvergiert? Wenn wir zum Beispiel wissen, dass etwas konvergiert, ist es auch nützlich zu wissen, wie schnell es relativ zu etwas anderem konvergiert?
@AbhijeetVats Ja, das meine ich.
Beweisen Sie, dass jede Teilfolge einer konvergenten reellen Folge gegen denselben Grenzwert konvergiert.
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