Beweis der archimedischen Eigenschaft von reellen Zahlen und NIP (Nested Interval Property) unter Verwendung von MCT

Ich mache Übung 2.4.4 im Buch Understanding Analysisvon Stephen Abbott. Ich möchte fragen, ob mein Beweis (insbesondere Teil (a) der Frage) streng und technisch korrekt ist.

(a) In einem vorherigen Abschnitt haben wir das Axiom der Vollständigkeit (AoC) verwendet, um die archimedische Eigenschaft reeller Zahlen zu beweisen$\mathbf{R}$. Zeigen Sie, dass der Satz von der monotonen Konvergenz auch verwendet werden kann, um die archimedische Eigenschaft zu beweisen, ohne AoC zu verwenden.

(b) Verwenden Sie den Satz von der monotonen Konvergenz, um einen Beweis für die Nested Interval Property zu liefern, der keinen Gebrauch von der AoC macht.

Diese beiden Ergebnisse legen nahe, dass wir den Satz von der monotonen Konvergenz anstelle des AoC als unser Ausgangsaxiom hätten verwenden können, um eine richtige Theorie der reellen Zahlen zu entwickeln.

Nachweisen.

(a) Die archimedische Eigenschaft besagt, dass$\mathbf{N}$ist eine unbeschränkte Menge, die darin sitzt$\mathbf{R}$. Gegeben irgendeine reelle Zahl$x$, es existiert$n \in \mathbf{N}$so dass$x < n$.

Nehmen wir das im Widerspruch an$\mathbf{N}$ist eine begrenzte Teilmenge von$\mathbf{R}$. Dann existiert eine Obergrenze$x \in \mathbf{R}$, so dass$n < x$für alle natürlichen Zahlen$n \in \mathbf{N}$. Die natürlichen Zahlen werden rekursiv über die Folge definiert$x_{n+1} = 1 + x_n$. Dies ist eine monoton steigende Folge. Somit,$\mathbf{N}$ist monoton wachsend und durch den Satz der monotonen Konvergenz die Folge beschränkt$(x_n)$ist konvergent. Lassen$\lim x_{n+1} = \lim x_{n} = x$. Wenn wir Grenzen auf beiden Seiten nehmen, haben wir:

Dies ist eine falsche Aussage und verstößt gegen Peanos Axiome. Außerdem können wir kein Intervall finden$V_\epsilon(x)$so dass die Werte der Sequenz$(x_n)$wird schließlich in diesem Intervall liegen. So,$(x_n)$ist keine konvergente Folge$\implies$ $(x_n)$ist unbegrenzt$\implies$ $\exists n \in \mathbf{N}$, so dass$x < n$für alle Realen$x$.

(b) Die geschachtelte Intervalleigenschaft besagt, dass der reelle Zahlenstrahl$\mathbf{R}$enthält keine Lücken. Der Vollständigkeit halber gebe ich die Erklärung von NIP wieder.

Für jede$n \in \mathbf{N}$, nehmen wir an, dass wir ein abgeschlossenes Intervall haben$I_n = [a_n, b_n] = \{x \in \mathbf{R}: a_n \le x \le b_n\}$. Nehmen Sie auch an, dass jeder$I_n$enthält$I_{n+1}$. Dann die resultierende verschachtelte Folge geschlossener Intervalle

$$\begin{align*} I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq I_4 \ldots \end{align*}$$

einen nicht leeren Schnittpunkt haben; das ist

$$\begin{align*} \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \ne \phi \end{align*}$$

Seit,$I_n \supseteq I_{n+1}$, das ist$[a_n,b_n] \supseteq [a_{n+1},b_{n+1}]$, die Sequenz, die aus den linken Endpunkten besteht$a_1,a_2,a_3,\ldots, a_n$;$(a_n)$ist monoton steigend. Außerdem die Reihenfolge$(a_n)$ist nach oben begrenzt durch$b_n$. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz ist die Folge konvergent und$\lim_n (a_n) = s = \sup \{a_n : n \in \mathbf{N}\}$.

Seit,$s$ist eine obere Schranke für die Folge$(a_n)$,$a_n \le s$für alle$n \in \mathbf{N}$. Außerdem als$s$ist die kleinste Obergrenze$s \le b_n$für alle$n \in \mathbf{N}$. Folglich,$a_n \le s \le b_n$für alle$n \in \mathbf{N}$. Daher,$s \in I_n$für alle$n \in \mathbf{N}$, und der zählbare Schnittpunkt dieser Intervalle ist nicht leer.