Eine reellwertige Funktion, die auf einer Borel-Teilmenge von RR\mathbb{R} mit einer zählbaren Anzahl von Diskontinuitäten definiert ist, ist Borel-messbar

Ich habe die folgende Aussage bewiesen und würde gerne wissen, ob mein Beweis richtig ist und/oder/ob/wie er verbessert werden kann, danke.

"Vermuten$X$ist eine Borel-Teilmenge von$\mathbb{R}$Und$f:X\to\mathbb{R}$ist eine solche Funktion$\{x\in X: f\text{ is not continuous at }x\}$ist eine abzählbare Menge. Beweisen$f$ist eine von Borel messbare Funktion."

Mein Beweis:

( EDIT: mein Beweis ist in dem Fall falsch $\{x\in X: f\text{ is not continuous at }x\}$ ist eine zählbare Menge (ein Gegenbeispiel, wie von Ramiro hervorgehoben, ist die Thomae-Funktion), aber es sollte in diesem Fall funktionieren $\{x\in X: f\text{ is not continuous at }x\}$ ist endlich )

Lassen$d_i, i\geq 1$bezeichnen die Punkte, an denen$f$ist diskontinuierlich und fix$a\in\mathbb{R}$; Wenn$x\in X$Und$f(x)>a$dann entweder$x=d_i$für einige$i\geq 1$oder$f$ist stetig bei$x$also wenn wir setzen$\delta_x:=\frac{1}{2}\cdot\inf\{|x-d_i|:i\geq 1\}$wir haben$f((x-\delta_x,x+\delta_x)\cap X)\subseteq (a,+\infty)$(gleichwertig$(x-\delta_x,x+\delta_x)\cap X\subseteq f^{-1}((a,+\infty))$Sein$f$kontinuierlich in diesem ganzen Satz so$f^{-1}((a,+\infty))=\bigcup_{x\in f^{1}((a,+\infty)), x\neq d_i\forall i\geq 1} (x-\delta_x,x+\delta_x)\cap X\cup \{d_i:f(d_i)>a\}$was die Vereinigung zweier Borel-Mengen ist ($(x-\delta_x,x+\delta_x)$ist eine offene Teilmenge von$\mathbb{R}$Also ist es Borel,$X$ist ein Borel-Satz durch Hypothese, also ist ihre Schnittmenge auch Borel und ebenso ihre Vereinigung und$\{d_i:f(d_i)>a\}$ist zählbar, also auch Borel) ist Borel. Also, bei LEMMA, wir können das schließen$f$Borel-messbar ist, wie gewünscht.

LEMMA. Vermuten$(X,\mathcal{S})$ist ein messbarer Raum und$f:X\to\mathbb{R}$ist eine solche Funktion$f^{-1}((a,+\infty))\in\mathcal{S}$für alle$\in\mathbb{R}$Dann$f$ist ein$\mathcal{S}$-messbare Funktion.

DEF. (messbare Funktion) Angenommen$(X,\mathcal{S})$ist ein messbarer Raum. Eine Funktion$f:X\to\mathbb{R}$wird genannt$\mathcal{S}$-Messbar, wenn$f^{-1}(B)\in\mathcal{S}$für jeden Borel-Satz$B\subset\mathbb{R}$.

DEF. (Borel-messbare Funktion) Angenommen$X\subset\mathbb{R}$. Eine Funktion$f:X\to\mathbb{R}$heißt Borel messbar wenn$f^{-1}(B)$ist ein Borel-Set für jedes Borel-Set$B\subset\mathbb{R}$.