Die Sammlung von Borel-Mengen BB\mathcal{B} ist translationsinvariant

Ich versuche folgende Aussage zu beweisen:

„Beweisen Sie, dass die Sammlung von Borel-Teilmengen von$\mathbb{R}$,$\mathcal{B}$, ist translationsinvariant. Genauer gesagt beweisen Sie, dass if$B\subset\mathbb{R}$ist ein Borel-Set und$t\in\mathbb{R}$, Dann$t+B$ist eine Borel-Menge."

Was ich bisher gemacht habe:

(EDIT: Ich glaube jetzt, dass nur die fett gedruckten Teile für den Beweis notwendig sind)

$\fbox{Let $t\in\mathbb{R}$: then $t+\mathcal{B}$ is a $\sigma$-algebra}$;

$\emptyset\in\mathcal{B}$Und$\emptyset\overset{*}{=}\emptyset +t\in t+\mathcal{B}$

*aus Gründen des Widerspruchs annehmen, dass$\emptyset +t\neq\emptyset$: Dies bedeutet, dass ein Element existiert$a\in\emptyset +t$dh$a=o+t$, Wo$o\in\emptyset$, Widerspruch, da$\emptyset$enthält per Definition keine Elemente.

$E\in t+\mathcal{B}\Rightarrow E^c=t+B^c, B^c\in\mathcal{B}$So$E^c\in t+\mathcal{B}$;

$E_1, E_2,\dots\in t+\mathcal{B}\Rightarrow E_1=t+B_1, E_2=t+B_2, \dots\Rightarrow$ $\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k=\bigcup_{k=1}^{\infty}(t+B_k)=t+\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\in t+\mathcal{B}$, seit$\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\in\mathcal{B}$.

Nun lass$O$sei eine offene Teilmenge von$\mathbb{R}$: dann kann es als abzählbare Vereinigung offener Intervalle in geschrieben werden$\mathbb{R}, O=\bigcup_{k=1}^{\infty}(a_k,b_k)\in\mathcal{B}$und wenn wir setzen$t\in\mathbb{R}$wir können auch schreiben$O=t+\bigcup_{k=1}^{\infty}(a_k-t,b_k+t)\in t+\mathcal{B}$. So,$t+\mathcal{B}$enthält jede offene Teilmenge von$\mathbb{R}$und da per Definition$\mathcal{B}$ist am kleinsten$\sigma$-Algebra mit allen offenen Teilmengen von$\mathbb{R}$es folgt dem$\mathcal{B}\subset t+\mathcal{B}.$

Lassen$t\in\mathbb{R}$und und betrachten Sie die Funktion$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x):=x-t$: Dann$f$, da es sich um eine stetige Funktion handelt, ist also auch eine Borel-messbare Funktion$f^{-1}(B)=B+t$ist ein Borel-Set für jedes Borel-Set$B$also das haben wir auch$t+\mathcal{B}\subset \mathcal{B}$daher$t+\mathcal{B}=\mathcal{B}$, wie gewünscht.