A+BA+BA+B Borel gesetzt, wenn AAA zählbar ist, offen.

Wenn A , B ⊂ R , wir definieren

A + B = { A + B ∣ A ∈ A , B ∈ B } .

Vermuten B ein Borel-Set ist, dann müssen wir

Beweise das A + B ist eine Borel-Menge, wenn

  • A ist zählbar.
  • A ist offen.

Borel-Mengen sind die Mengen, die ausgehend von den offenen und geschlossenen Mengen konstruiert werden können, indem wiederholt zählbare Vereinigungen und Schnittmengen genommen werden.

Aber wie wendet man die zählbare Schnittmenge/Vereinigung auf dieses Problem an? Hier nehmen wir die Summe von zwei Sätzen.

Da jeder Homomorphismus die erhält σ -Algebra von Borel-Mengen, dachte ich daran, die Übersetzungskarte in Betracht zu ziehen F : B → A + B Wo F ( B ) = A + B . Reicht das oder muss ich genauer argumentieren?

Die Tatsache, dass die Differenz zweier Borel-Mengen eine Borel-Menge ist, kann ich nicht anwenden, da ich nicht weiß, ob A ein Borel-Set ist oder nicht.

Deinen letzten Absatz verstehe ich nicht. Sie wissen, ob A ist Borel oder nicht. Eigentlich ist dies nützlich, um das Problem zu lösen, also beginnen Sie damit, Folgendes zu zeigen: In beiden Fällen A ist Borel.
Außerdem verstehe ich nicht, was deine Funktion ist F Ist. Ist A Fest? Variiert es? Sie haben an diese Funktion gedacht, die eine Übersetzung ist. OK. Was ist damit? Wie hilft das? Sicher brauchen Sie präzisere Argumente als eine vage Idee.
Ich sehe, ich muss präzise sein, lass mich mehr nachdenken!
Wenn A ist dann geöffnet A + B ist geöffnet, weil A + B = { A + B ∣ B ∈ B } ist eine Vereinigung offener Mengen. In diesem Fall, B kann willkürlich sein, nicht unbedingt Borel.

Antworten (2)

Der Fall wann A offen ist, ist schwer, weil die Leute vermissen, wie einfach es ist.

Lassen A + B ∈ A + B willkürlich sein. Seit A ist offen, es gibt welche ϵ > 0 so dass ( A − ϵ , A + ϵ ) ⊂ A .

Dann

( A + B − ϵ , A + B + ϵ ) ⊂ A + B
und daher A + B ist offen .

Wenn A ist dann zählbar A + B = ⋃ { A + B : A ∈ A } ist eine abzählbare Vereinigung von Borel-Mengen.

Ja nett!! aber wie geht man mit offen um?
@BAYMAX was kannst du dazu sagen A + B für B Fest?
A+BA+BA+B Borel gesetzt, wenn AAA zählbar ist, offen.
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