Frage zu Borel-messbaren Funktionen und Borel-Sigma-Algebren.

Bei einem Auftrag wurde uns folgendes Setup gegeben: Let F : A → R ¯ sei eine Borel-messbare Funktion. beweisen, wenn F ist Borel messbar und B ist also eine Borel-Menge F − 1 ( B ) ist eine Borel-Menge.

Die Definition der Borel-Messbarkeit, die uns gegeben wurde, lautet wie folgt: „Eine Funktion F : R → R heißt Borel-messbar, wenn sein Definitionsbereich A ⊆ R eine Borel-Menge ist und für jedes c die Menge { X ∈ A : F ( X ) < C } ist eine Borel-Menge.

Uns wurde keine Beschreibung gegeben, wo dieses Set lebt, nehme ich an B ⊂ R aber das kann falsch sein. Ich denke, wir müssen zeigen, dass die Menge { B ⊂ R : F − 1 ( B ) ist ein Borel-Set} ist eine Sigma-Algebra, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das machen soll. Ich weiß, es ist ein bisschen albern, denn alles, was Sie tun müssen, ist zu überprüfen, ob die Definitionen einer Sigma-Algebra erfüllt sind, aber diese Dinge zu zeigen, erweist sich als schwieriger als ich erwartet hatte. Wir können auch die Tatsache verwenden, dass Borel-messbare Funktionen Lebesgue-messbar sind. Jede Hilfe wäre sehr willkommen!

Dies ist eine AUSGEZEICHNETE Frage
Ich verstehe nicht - das ist die Definition einer Borel-messbaren Funktion, die für jede Borel-Menge gilt B , F − 1 ( B ) ist eine Borel-Menge. Es gibt nichts zu beweisen.
@ Math1000 Die Definition, die wir gegeben haben, war wie folgt. Ich werde die Frage bearbeiten, um sie klarer zu machen. "Eine Funktion f : R → R heißt Borel-messbar, vorausgesetzt, ihre Domäne A ⊆ R ist eine Borel-Menge und für jedes c ist die Menge {x ∈ A : f (x) < c} eine Borel-Menge."

Antworten (2)

Beachten Sie das für B ∈ R

F − 1 ( ( − ∞ , B ] ) = A ∖ F − 1 ( B , + ∞ ) das ist ein Borel-Set.

Die Mengenfamilie der Form ( − ∞ , B ] erzeuge mit der leeren Menge die Borel-Sigma-Algebra.

Also wenn du das zeigst A = { B ⊆ R : F − 1 ( B ) ist Borel } eine Sigma-Algebra ist, dann sind Sie fertig, da diese Sigma-Algebra die Mengen der Form enthält ( − ∞ , B ] und die leere Menge, so dass sie per Definition die Borel-Sigma-Algebra enthält.

Zu zeigen, dass A ist Sigma-Algebra, verwenden Sie einfach die Tatsache, dass das inverse Bild einer Vereinigung die Vereinigung der inversen Bilder und ist

Wenn B ⊆ R Dann F − 1 ( B C ) = A ∖ F − 1 ( B )

Danke schön!! Ich schätze es sehr

Der Borel σ -Algebra eines topologischen Raums A ist als kleinste definiert σ -Algebra, die alle offenen Mengen von enthält A .

Wenn wir sagen, dass eine Funktion F : A → R ¯ Ist Borel messbar, gehen wir von der Standardtopologie aus R ¯ und das wenn C ⊂ R ¯ ist dann eine Borel-Menge F − 1 ( C ) ist Borel im induzierten Borel σ -Algebra von A .

Durch die Eigenschaften von F − 1 bezüglich Mengenoperationen kann gezeigt werden, dass es genügt, dies zu sagen F − 1 ( C ) ist Borel dabei A für alle C des Formulars [ − ∞ , A ) , wie es allgemein in jedem Analysis-Lehrbuch erklärt wird, das eine Einführung in die Lebesgue-Integrationstheorie enthält.

Frage zu Borel-messbaren Funktionen und Borel-Sigma-Algebren.
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