Ist f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definiert durch f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -messbar?

Question

Ist f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definiert durch f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -messbar?

Borel-Sets
Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie

Céline Harumi

Ist $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definiert von $f(x,y)=xy$ eine Borel-messbare Funktion?

Skizze: einfacher Beweis

Nach Definition von Borel Sigma-Algebra , $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ wird durch die Menge der offenen Mengen in erzeugt $\mathbb{R}^2$ . Sie ist also die kleinste Sigma-Algebra, die alle offenen Mengen enthält $\mathbb{R}^2$ .

Das kann man zeigen $f: (\mathbb{R}^2,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ ist messbar gdw $\forall c\in\mathbb{R}, \{(x,y):f(x,y)<c\}\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ .

Seit $f$ ist kontinuierlich, $\{f^{-1}(-\infty,c)\}$ ist offen und muss daher drin sein $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ .

Sehen Sie etwas Falsches an dieser Argumentation?

diracdeltafunk

Eigentlich jede stetige Funktion

R^{n} \to R^{m}

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ist Borel-messbar. Das liegt daran, dass die Borel

σ

$\sigma$ -Algebra ist (vielleicht per Definition, obwohl dies von Ihren Definitionen abhängt) gleichbedeutend mit der

σ

$\sigma$ -Algebra durch Topologie des Raumes erzeugt.

Céline Harumi

@diracdeltafunk Mein Problem ist zu definieren

B_{R^{2}}

$\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ . Die Borel-Sigma-Algebra auf

R^{2}

$R^2$ enthält alle offenen Mengen in

R^{2}

$R^2$ ? Wenn ja, die Kontinuität von

f

$f$ macht den Job.

diracdeltafunk

Was ist Ihre Definition von Borel?

σ

$\sigma$ -Algebra?

Céline Harumi

@diracdeltafunk Ich habe in meiner Skizze eine Definition gegeben. Kannst du prüfen, ob das sinnvoll ist?

diracdeltafunk

Ihre Skizze sieht für mich gut aus, und die von Ihnen gegebene Definition ist (meiner Erfahrung nach) die gebräuchlichste. Eine kleine Anmerkung: Sie sollten sagen

f^{- 1} (- \infty, c)

$f^{-1}(-\infty, c)$ anstatt

{f^{- 1} (- \infty, c)}

$\{f^{-1}(-\infty,c)\}$ .

Céline Harumi

@diracdeltafunk danke für das Feedback.

Antworten (2)

Ist f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definiert durch f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -messbar?

Eigentlich jede stetige Funktion $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ist Borel-messbar. Das liegt daran, dass die Borel $\sigma$ -Algebra ist (vielleicht per Definition, obwohl dies von Ihren Definitionen abhängt) gleichbedeutend mit der $\sigma$ -Algebra durch Topologie des Raumes erzeugt.
@diracdeltafunk Mein Problem ist zu definieren $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}$ . Die Borel-Sigma-Algebra auf $R^2$ enthält alle offenen Mengen in $R^2$ ? Wenn ja, die Kontinuität von $f$ macht den Job.
@diracdeltafunk Ich habe in meiner Skizze eine Definition gegeben. Kannst du prüfen, ob das sinnvoll ist?
Ihre Skizze sieht für mich gut aus, und die von Ihnen gegebene Definition ist (meiner Erfahrung nach) die gebräuchlichste. Eine kleine Anmerkung: Sie sollten sagen $f^{-1}(-\infty, c)$ anstatt $\{f^{-1}(-\infty,c)\}$ .

Doctor Who · Answer 1

Ja. Denn jede stetige Funktion ist automatisch Borel-messbar.

Beweis: Let $(X, \tau)$ Und $(Y, \pi)$ seien topologische Räume und betrachte stetig $f : X \to Y$ . Lassen $B_Y$ sei der Borel $\sigma$ -Algebra an $(Y, \pi)$ , ähnlich für $B_X$ .

Definieren $W = \{S \in B_Y : f^{-1}(S) \in B_X\}$ . Da die Umkehrbildfunktion $f^{-1} : P(Y) \to P(X)$ bewahrt Gewerkschaften und ergänzt, wir sehen das $W$ ist ein $\sigma$ -Algebra.

Beachten Sie nun, dass wenn $U \in \pi$ , Dann $f^{-1}(U) \in \tau \subseteq B_X$ . Daher, $\pi \subseteq W$ . Daher seit $B_Y$ ist das Mindeste $\sigma$ -Algebra enthält $\pi$ , wir haben $B_Y \subseteq W$ . Das heißt, das Umkehrbild jeder messbaren Menge ist messbar.

Sie müssen vorsichtig sein, da das OP mit dem Produkt zu tun hat $\sigma$ -Algebra. Im Allgemeinen ist es nicht so $\mathscr{B})\otimes\mathscr{B}(Y)=\mathscr{B}(X\times Y)$ für topologische Räume $X$ , $Y$ . Im vorliegenden Fall gibt es kein Problem, da s Jean Leider richtig erwähnt hat, der Platz $\mathbb{R}$ ist trennbar.

Oliver Diaz · Answer 2

Stetige Funktionen sind immer Borel-messbar. Insbesondere, $f(x,y)=xy$ Sünde kontinuierlich. Dies gilt für jedes Borel-Set $U\subset \mathbb{R}$ , $f^{-1}(U)$ ist ein Bprel-Set $\mathscr{B}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Seit $\mathbb{R}$ ist trennbar, $\mathscr{B}(\mathbb{R})\otimes\mathbb{R}(\mathbb{R})=\mathscr{B}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ ; somit $f$ ist messbar in Bezug auf das Produkt $\sigma$ -Algebra $\mathscr{B}(X)\otimes\mathscr{B}(\mathbb{R})$ .

Ist f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definiert durch f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -messbar?

Céline Harumi

diracdeltafunk

Céline Harumi

diracdeltafunk

Céline Harumi

diracdeltafunk

Céline Harumi

Antworten (2)

Doctor Who

Oliver Diaz

Oliver Diaz

Eine reellwertige Funktion, die auf einer Borel-Teilmenge von RR\mathbb{R} mit einer zählbaren Anzahl von Diskontinuitäten definiert ist, ist Borel-messbar

Zeigen Sie, dass die Menge aller reellen Zahlen, deren Dezimalschreibweise die Zahl 2 enthält, messbar ist

Frage zu Borel-messbaren Funktionen und Borel-Sigma-Algebren.

Warum ist die μμ\mu-messbare Menge in der Borel-Menge enthalten?

Die Sammlung von Borel-Mengen BB\mathcal{B} ist translationsinvariant

Eine wachsende Funktion f:B→R, B⊂Rf:B→R, B⊂Rf:B\to\mathbb{R},\ B\subset\mathbb{R} muss an jedem Element von BBB außer a stetig sein zählbare Teilmenge von BBB

A+BA+BA+B Borel gesetzt, wenn AAA zählbar ist, offen.

Wenn fff messbar von Borel und BBB eine Borel-Menge ist, dann ist f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) eine Borel-Menge.

Ist eine Teilmenge von RR\mathbb{R} eine Borel-Menge?

Wenn B⊂RB⊂RB\subset\mathbb{R} eine Borel-Menge und f:B→Rf:B→Rf:B\to\mathbb{R} eine wachsende Funktion ist, dann ist f(B)f(B)f (B) ist ein Borel-Set