Wenn fff messbar von Borel und BBB eine Borel-Menge ist, dann ist f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) eine Borel-Menge.

Das folgende Problem stammt von Royden & Fitzpatrick (4. Aufl.). Ich stecke beim Zeigen von (ii) fest, kann mir bitte jemand helfen, es zu beweisen? Danke schön.

Seite 59, Aufgabe 8. (Borel-Messbarkeit) Eine Funktion F wird gesagt, dass Borel messbar seine Domain bereitgestellt E ist ein Borel-Set und für jeden C , der Satz { X ∈ E | F ( X ) > C } ist eine Borel-Menge. Verifizieren Sie, dass Proposition 1 und Theorem 6 gültig bleiben, wenn wir „(Lebesgue) messbare Menge“ durch „Borel-Menge“ ersetzen. Zeigen Sie: (i) jede Borel-messbare Funktion ist Lebesgue-messbar; (ii) wenn F ist Borel messbar und B ist also eine Borel-Menge F − 1 ( B ) ist eine Borel-Menge; (iii) wenn F Und G sind Borel messbar, so ist F ∘ G ; und (iv) wenn F ist Borel messbar und G ist Lebesgue also messbar F ∘ G ist Lebesgue-messbar.

Nachweisen. Jede Borel-messbare Menge ist seitdem Lebesgue-messbar B ∈ B ( R ) , Dann B ist eine Lebesgue-messbare Menge, außer vielleicht auf einer Menge von Maßen 0. Nehmen Sie für (iii) an G : R → R Und F : R → R . Dann, ( F ∘ G ) − 1 ( ( C , ∞ ) ) = G − 1 ∘ F − 1 ( ( C , ∞ ) ) . Durch die Hypothese, F − 1 ( ( C , ∞ ) ) = B ∈ B ( R ) . Per Definition des Borel-Sets ist jedes Mitglied von B ( R ) ist das Ergebnis von zählbaren Mengenoperationen oder ein Mitglied der Topologie an R . Jedes Mitglied der Topologie an R kann als zählbares Ergebnis von Mengenoperationen geschrieben werden ( A , ∞ ) für einige A ∈ R , So G − 1 ( B ) ∈ B ( R ) . Daher, F ∘ G ist Borel messbar. Um nun (iv) zu beweisen, nehmen Sie an F : ( X , T ) → ( R , U ) mit ( X , T ) ein allgemeiner topologischer Raum, und U die Standardtopologie auf R . Per Definition jede Borel-Menge B ∈ B ( R ) ist ein Ergebnis von abzählbaren Mengenoperationen als offene Menge. Nun da F − 1 ( ( C , ∞ ) ) ∈ B ( X ) , jede offene Menge kann in Bezug auf offene Strahlen geschrieben werden und jede Borel-Menge darin R kann in Bezug auf diese offenen Mengen geschrieben werden. Daher stellte sich das umgekehrte Bild eines Borels ein R ist das zählbare mengentheoretische Ergebnis von Operationen an F − 1 ( ( C , ∞ ) ) das ist ein Borel-Set als B ( X ) ist ein σ -Algebra.

Antworten (1)

Lassen A sei die Menge aller Borel-Teilmengen B von R so dass F − 1 ( B ) ist auch eine Borel-Untermenge von R . Seit F ist Borel-messbar, den wir haben ( C , ∞ ) ∈ A für alle C ∈ R .

Lassen σ ( A ) der kleinste sein σ -Algebra, die die Menge enthält A . Da die Operation F − 1 , dh die Operation der umgekehrten Kommutierung mit der zählbaren Vereinigungsoperation und der Komplementoperation, also haben wir σ ( { F − 1 ( B ) : B ∈ A } ) = { F − 1 ( X ) : X ∈ σ ( A ) } .

Nun, da σ ( A ) ist ein σ -Algebra haben wir ( A , ∞ ) ∩ ( B , ∞ ) = ( A , B ) ∈ σ ( A ) für alle A , B ∈ R .

Ähnlich, ( − ∞ , A ' ] = R ∖ ( A ' , ∞ ) ist auch dabei σ ( A ) für alle A ' ∈ R als σ -Algebra ist unter Komplement abgeschlossen.

Somit, ( − ∞ , A ) = ⋃ N = 1 ∞ ( − ∞ , A − 1 N ] ist auch Bestandteil von σ ( A ) für alle A ∈ R als σ -Algebra ist unter abzählbarer Vereinigung abgeschlossen.

Auch jede offene Teilmenge von R kann als abzählbare Vereinigung offener Intervalle von geschrieben werden R Und jeder σ -Algebra ist unter abzählbarer Vereinigung abgeschlossen. Daher ist jede offene Teilmenge von R ist ein Element von σ ( A ) . Mit anderen Worten, das Set τ ( R ) aller offenen Teilmengen von R ist eine Teilmenge von A .

Aber die Borel- σ Algebra B ( R ) von R ist am kleinsten σ -Algebra, die alle offenen Teilmengen von enthält R , dh σ ( τ ( R ) ) = B ( R ) . Somit, σ ( A ) ⊇ B ( R ) als A ⊇ τ ( R ) .

Schließlich für alle Y ∈ B ( R ) ⟹ Y ∈ σ ( A ) ⟹ F − 1 ( Y ) ∈ σ ( { F − 1 ( B ) : B ∈ A } ) ⊆ B ( R ) . Die letzte Aufnahme ist der Tatsache geschuldet, dass jeder Satz F − 1 ( B ) ∈ B ( R ) für alle B ∈ A aus der Definition von A . Somit, σ ( { F − 1 ( B ) : B ∈ A } ) ⊆ σ ( B ( R ) ) = B ( R ) .

Danke, denkst du meine Erklärung für den Rest ist genug?
Gern geschehen. Ja, was auch immer Sie in Ihrer Frage geschrieben haben, ich meine, Beweise für (i), (iii) und (iv) sind korrekt.
Wenn fff messbar von Borel und BBB eine Borel-Menge ist, dann ist f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) eine Borel-Menge.
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