Frage 39 in Follands Reelle Analyse Kapitel 3

Question

Frage 39 in Follands Reelle Analyse Kapitel 3

Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie
Lebesgue-Maß

Lilith

Die Frage „Wenn { $F_j$ } ist eine Folge nicht negativer ansteigender Funktionen $[a,b]$ so dass $F(x)= \sum_1^\infty F_j(x) < \infty$ " für alle $x \in [a,b]$ , Dann $F\prime(x)=\sum_1^\infty F\prime_j(x)$ für ä $x \in [a,b]$ . (Es genügt, das anzunehmen $F_j \in NBV$ . Betrachten Sie die Maßnahmen $\mu_{F_j}$ .)"

Nach dem Satz 3.23 Seite 101 im selben Buch ist es sinnvoll, dies anzunehmen $F_j \in NBV$ für alle $j$ .

Ich habe eigentlich sehr grundlegende Fragen: Zunächst einmal, wie wird die Ableitung von F ausgedrückt? Dürfen wir es aufschreiben als: $F\prime = lim_{r\rightarrow 0} \frac{\mu_F(E_r)}{m(E_r)}$ Wo $\mu_F$ ist das Borel-Maß , $\mu((a,b])=F(b)-F(a)$ , $m$ ist das Lebesgue-Maß, und $E_r = (x,x+h]$ .

Danach überlege ich zu schreiben $\mu_F$ bezüglich $\mu_{F_j}$ 's und erhalten die Gleichheit, aber es scheint sehr falsch zu sein, und es nützt nichts, dass dies der Fall ist $F_j$ sind nichtnegativ.

Könnte mir bitte jemand ein paar Hinweise und Erläuterungen geben?

Danke schön.

Ken

Dies ist der Satz von Fubini über die Differenzierung. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem_on_differentiation

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Frage 39 in Follands Reelle Analyse Kapitel 3

Dies ist der Satz von Fubini über die Differenzierung. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem_on_differentiation

Ken · Answer 1

Dies ist der Satz von Fubini über die Differentiation . Der Beweis geht wie folgt.

Wir verwenden das folgende Lemma:

Lemma: Wenn $G:\mathbb R\to\mathbb R$ nimmt dann zu $\int_a^bG'(t)dt\leq G(b)-G(a)$ .

(Beweis.) Beachten Sie das $G$ ist differenzierbar ae und die Ableitung ist positiv, wo immer sie existiert, weil sie wächst. Lassen $c\in(a,b)$ . Nach dem Lemma von Fatou haben wir

\begin{array}{rcl} \int_{A}^{C} G^{'} (T) D T & \leq & \underset{N \to \infty}{lim inf} \int_{A}^{C} \frac{G (T + N^{- 1}) - G (T)}{N^{- 1}} D T \\ = & \underset{N \to \infty}{lim inf} (\int_{C}^{C + N^{- 1}} G (T) D T - \int_{A}^{A + N^{- 1}} G (T) D T) \cdot N \\ \leq & \underset{N \to \infty}{lim inf} G (C + N^{- 1}) - G (A) \\ \leq & G (B) - G (A) . \end{array}

$\begin{eqnarray} \int_a^{c} G'(t)dt&\leq&\liminf_{n\to\infty}\int_a^c \frac{G(t+n^{-1})-G(t)}{n^{-1}}dt\\ &=&\liminf_{n\to\infty}\left(\int_c^{c+n^{-1}}G(t)dt-\int_a^{a+n^{-1}}G(t)dt \right)\cdot n\\ &\leq&\liminf_{n\to\infty}G(c+n^{-1})-G(a)\\ &\leq& G(b)-G(a). \end{eqnarray}$ Vermietung

c \to b

$c\to b$ (über eine zählbare Sequenz und Anwendung von MCT) ergibt die gewünschte Ungleichung.

◻

$\square$

Nun beweisen wir die Behauptung. Beachten Sie, dass $F'(x)$ Und $f_j'(x)$ existiert für ae $x\in[a,b]$ weil sie zunehmen. Wenn $x$ ist so ein Punkt, dann für jeden $n$ wir haben $F'(x)-\sum_{j=1}^n f_j'(x)\geq 0$ (Weil $F-\sum_{j=1}^{n}f_j=\sum_{j=n+1}^\infty f_j$ nimmt zu) und daher $F'(x)\geq \sum_{j=1}^\infty f_j'(x)$ . Daher $F'\geq\sum_{j=1}^\infty f_j'$ äh an $[a,b]$ .

Andererseits impliziert unser Lemma dies

\begin{array}{rcl} \int_{A}^{B} F^{'} (T) D T & = & \int_{A}^{B} \sum_{J = 1}^{N} F_{J}^{'} (T) D T + \int_{A}^{B} (F - \sum_{J = 1}^{N} F_{J})^{'} (T) D T \\ \leq & \int_{A}^{B} \sum_{J = 1}^{\infty} F_{J}^{'} (T) D T + (F - \sum_{J = 1}^{N} F_{J}) (B) - (F - \sum_{J = 1}^{N} F_{J}) (A), \end{array}

$\begin{eqnarray} \int_a^b F'(t)dt&=&\int_a^b\sum_{j=1}^nf_j'(t)dt+\int_a^b(F-\sum_{j=1}^nf_j)'(t)dt\\ &\leq&\int_a^b\sum_{j=1}^\infty f_j'(t)dt+(F-\sum_{j=1}^nf_j)(b)-(F-\sum_{j=1}^nf_j)(a), \end{eqnarray}$ also lassen

n \to \infty

$n\to\infty$ ergibt die Ungleichung

\int_{A}^{B} F^{'} (T) D T \leq \int_{A}^{B} \sum_{J = 1}^{\infty} F_{J}^{'} (T) D T .

$\int_a^b F'(t)dt\leq\int_a^b\sum_{j=1}^\infty f_j'(t)dt.$ Weil

F^{'} \geq \sum_{j = 1}^{\infty} f_{j}^{'}

$F'\geq\sum_{j=1}^\infty f_j'$ ä und

F^{'} \in L^{1} ([a, b], m)

$F'\in L^1([a,b],m)$ nach dem Lemma impliziert diese Ungleichung das

F^{'} = \sum_{j = 1}^{\infty} f_{j}^{'}

$F'=\sum_{j=1}^\infty f_j'$ ä

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Lilith

Ken

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Ken

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