Suchen Sie ein Set wie das fette Cantor-Set?

Question

Suchen Sie ein Set wie das fette Cantor-Set?

Analyse
Cantor-Satz
Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie
Lebesgue-Maß

Anfänger

Problem:

Annehmen $0 < \epsilon < 1$ Und $\mu_{\mathcal L}$ ist das Lebesgue-Maß. Finden Sie eine messbare Menge $A \subset [0, 1]$ so dass die Schließung von $A$ Ist $[0, 1]$ Und $\mu_{\mathcal L}(A) = \epsilon$ .

Mein Versuch:

Ich fing schnell an, über das fette Cantor-Set zu lesen, dessen wesentliches Merkmal (soweit ich weiß) darin besteht, dass sein Maß ein beliebiges sein kann $\epsilon$ . Aber ich denke, der fatale Fehler ist, dass die fette Cantor-Menge geschlossen ist, während ich eine Menge brauche, deren Abschluss ist $[0, 1]$ .

Ich weiß nicht, wo ich nach einer Lösung suchen soll. Kann ich mit fetten Cantor-Sets herumspielen und dieses Problem lösen oder brauche ich einen grundlegend anderen Ansatz?

Danke.

vorw

Haben Sie versucht, sich das Komplement eines fetten Cantor-Sets anzusehen?

Anfänger

@fwd Nein, aber danke, dass du mir etwas zum Nachdenken gegeben hast.

David Mitra

Sie können jede Teilmenge mit Maß nehmen

ϵ

$\epsilon$ und fügen Sie alle verbleibenden rationalen Argumente hinzu.

Anfänger

Nur damit ich klar bin, wenn ich einen fetten Cantor-Satz von Lebesgue-Maß Epsilon nehme, sagen wir

C_{ϵ}

$C_{\epsilon}$ , und dann überlegen

C_{ϵ} \cup Q

$C_{\epsilon} \cup \mathbb Q$ (In

[0, 1]

$[0, 1]$ ), dann habe ich durch Hinzufügen der Begründungen das Maß nicht geändert, und da die Begründungen dicht sind, muss der Abschluss sein

[0, 1]

$[0, 1]$ ? Ist das ungefähr richtig?

Anfänger

Ich schätze, ich muss mich vielleicht ändern

Q

$\mathbb Q$ Zu

Q ∖ C_{ϵ}

$\mathbb Q \setminus C_{\epsilon}$ .

David Mitra

Ja. Aber Sie müssen nicht so ausgefallen sein, ein Cantor-Set zu verwenden.

[0, ϵ]

$[0,\epsilon]$ Wird besorgt.

Anfänger

Wow, ich schätze, ich mache das zu kompliziert. Kann ich also nur verwenden

(0, ϵ) \cup (Q ∖ (0, ϵ))

$(0, \epsilon) \cup (\mathbb Q \setminus (0, \epsilon))$ . Danke.

Antworten (1)

Suchen Sie ein Set wie das fette Cantor-Set?

Haben Sie versucht, sich das Komplement eines fetten Cantor-Sets anzusehen?
@fwd Nein, aber danke, dass du mir etwas zum Nachdenken gegeben hast.
Sie können jede Teilmenge mit Maß nehmen $\epsilon$ und fügen Sie alle verbleibenden rationalen Argumente hinzu.
Nur damit ich klar bin, wenn ich einen fetten Cantor-Satz von Lebesgue-Maß Epsilon nehme, sagen wir $C_{\epsilon}$ , und dann überlegen $C_{\epsilon} \cup \mathbb Q$ (In $[0, 1]$ ), dann habe ich durch Hinzufügen der Begründungen das Maß nicht geändert, und da die Begründungen dicht sind, muss der Abschluss sein $[0, 1]$ ? Ist das ungefähr richtig?
Ich schätze, ich muss mich vielleicht ändern $\mathbb Q$ Zu $\mathbb Q \setminus C_{\epsilon}$ .
Ja. Aber Sie müssen nicht so ausgefallen sein, ein Cantor-Set zu verwenden. $[0,\epsilon]$ Wird besorgt.
Wow, ich schätze, ich mache das zu kompliziert. Kann ich also nur verwenden $(0, \epsilon) \cup (\mathbb Q \setminus (0, \epsilon))$ . Danke.

Xander Henderson · Answer 1

Das einfachste Beispiel ist so etwas wie

A = [0, ε] \cup (Q \cap [0, 1]) .

$A = [0,\varepsilon] \cup \left( \mathbb{Q} \cap [0,1] \right).$ Das heißt, wählen Sie Ihren bevorzugten Maßsatz aus

ε

$\varepsilon$ , dann gib die rationalen Zahlen ein. Die Rationalitäten sind dicht drin

R

$\mathbb{R}$ (und daher dicht in

[0, 1]

$[0,1]$ ), haben aber ein Nullmaß. Daher

ε = μ ([0, ε]) \leq μ (A) \leq μ ([0, ε]) + μ (Q) = ε + 0 = ε,

$\varepsilon = \mu([0,\varepsilon]) \le \mu(A) \le \mu([0,\varepsilon]) + \mu(\mathbb{Q}) = \varepsilon + 0 = \varepsilon,$ Aber

\bar{A} = [0, 1]

$\overline{A} = [0,1]$ , was das gewünschte Ergebnis zu sein scheint.

Ein weiteres interessantes Set sieht etwa so aus:

Lassen $\{q_j\}_{j=1}^{\infty}$ sei eine Aufzählung der rationalen Zahlen in $[0,1]$ , beheben $\varepsilon > 0$ , und lass
$B_{J} = B (Q_{J}, ε 2^{- J - 1})$ $B_j = B(q_j, \varepsilon 2^{-j-1})$ bezeichnen die (offene) Kugel mit Radius $2^{-j-1}$ (also Durchmesser $2^{-j}$ ) zentriert bei $q_j$ . Nehmen $A$ die Vereinigung dieser Kugeln zu sein, dh $A = [0, 1] \cap ⋃_{J = 1}^{\infty} B_{J} .$ $A = [0,1] \cap \bigcup_{j=1}^{\infty} B_j.$ Beachten Sie, dass dank der zählbaren Subadditivität des Maßes das Maß von $A$ ist nach oben begrenzt durch $\varepsilon$ : $μ (A) = μ (⋃_{J = 1}^{\infty} B_{J}) \leq \sum_{J = 1}^{\infty} μ (B_{J}) = \sum_{J = 1}^{\infty} ε 2^{- J} = ε .$ $\mu(A) = \mu\left( \bigcup_{j=1}^{\infty} B_j \right) \le \sum_{j=1}^{\infty} \mu(B_j) = \sum_{j=1}^{\infty} \varepsilon 2^{-j} = \varepsilon.$ Darüber hinaus, $A$ enthält alle rationalen Zahlen in $[0,1]$ , so ist seine Schließung $[0,1]$ .

Dieses Beispiel erfüllt nicht ganz die Anforderungen des Problems (wir können das Maß der Menge nicht wirklich von unten begrenzen, da sich die Kugeln möglicherweise überlappen oder nicht vollständig darin enthalten sind $[0,1]$ ), aber es ist (glaube ich) ein interessantes Beispiel dafür, was passieren kann – dies ist eine offene Menge, die ein beliebig kleines Maß hat, die dennoch dicht ist $[0,1]$ .

Ich werde nur versuchen, die Details davon zu überprüfen, da ich ein Noob in der Maßtheorie bin, aber es sieht gut aus. Danke.

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