Teilmengen von RR\mathbb{R} mit gleichem Lebesgue-Maß auf jeder offenen Menge

Ich suche zwei Sets R die sowohl unzählbar als auch dicht sind und wo das eine die Ergänzung des anderen ist. Ich weiß, die Frage wurde hier schon gestellt , aber die Lösungen fühlten sich für mich immer noch nicht ganz richtig an: Die Sätze fühlten sich nicht "gleichmäßig" genug an R . So wurde mir klar, was die Frage war, die ich wirklich beantwortet haben wollte.

Gibt es zwei Lebesgue-messbare Teilmengen von R , von denen einer das Komplement des anderen ist, die das gleiche Lebesgue-Maß auf jeder offenen begrenzten Teilmenge von haben R ?

Die Dichte jedes Satzes in R ist ebenso offensichtlich wie ihre Unzählbarkeit, und die Mengen fühlen sich überall "gleichmäßig" an.

Antworten (1)

Wie sich herausstellt, wurde hier bereits eine Variante dieser Frage beantwortet : Die Antwort lautet nein. :(

Trotzdem ist mir aufgefallen, dass dies nur für das Lebesgue-Maß gilt. Gibt es andere Arten von Maßnahmen, bei denen dies möglich ist?

Ich denke, Sie brauchen einige Einschränkungen für das Maß, offensichtlich gibt das triviale Maß, das überall 0 gibt, zusammen mit der ersten Antwort ein Beispiel. (oder nehmen Sie eine zu schlechte Sigma-Algebra wie die triviale und weisen Sie allem Maß 1 zu und messen Sie 0 für die leere Menge)
Ja, das ist ein guter Punkt. Ich denke, die Frage, auf die ich in dieser Antwort verwiesen habe, ist wahrscheinlich eine bessere Formulierung: dass das Maß gleich der halben Länge des Intervalls ist.
Teilmengen von RR\mathbb{R} mit gleichem Lebesgue-Maß auf jeder offenen Menge
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