Impliziert Radon-Nikodym den Riesz-Darstellungssatz?

In Axlers Linear Algebra Done Right haben wir das Theorem

6.42: (Riesz-Darstellungssatz) Angenommen$V$ist ein endlichdimensionaler innerer Produktraum und$\phi$ist ein lineares Funktional an$V$. Dann gibt es einen eindeutigen Vektor$u \in V$so dass

$$\phi(v) = \langle v, u\rangle$$ für jeden$v \in V$

Ich lerne gerade Maßtheorie und bin auf Radon-Nikodym gestoßen

(Radon-Nikodym) Betrachten Sie einen messbaren Raum$(X,\mathcal{M})$auf welchen zwei$\sigma$-endlich signierte Maßnahmen$\mu,\nu$sind so definiert, dass$\nu << \mu$($\nu$ist absolut stetig bzgl$\mu$) dann gibt es ein$\mu$-Integrierbare Funktion$f: X \to \mathbb{R}$so dass

$$\nu(E) = \int_E f d\mu$$ für jeden$E \in \mathcal{M}$und jede andere Funktion$g$dies zu befriedigen ist gleich$f$fast überall in Bezug auf$\mu$.

Diese beiden Theoreme scheinen sehr ähnlich zu sein. Ist es möglich, von Radon-Nikodym zu einer Riesz-Vertretung zu gelangen? Das Integral in Radon-Nikodym "wirkt" wie das Skalarprodukt in der Riesz-Darstellung, der Funktion$f$"agiert" wie der Vektor$u$in Riesz und das signierte Maß$\nu$verhält sich wie das lineare Funktional$\phi$.

Ich neige zu der Annahme, dass wir Riesz irgendwie von Radon-Nikodym zurückgewinnen können. Zu Beginn müssten wir irgendwie einen bekommen$\sigma$-Algebra,$\mathcal{M}$An$V$so dass$(V, \mathcal{M})$ist ein messbarer Raum. Das muss ein ganz besonderes sein$\sigma$-Algebra damit irgendwie das Integral auf das Skalarprodukt weiter reduziert werden kann$V$. Wir müssten auch zeigen, dass das lineare Funktional bezüglich des Skalarprodukts absolut stetig ist.

Ist es also möglich, Riesz aus Radon-Nikodym zurückzugewinnen? Wenn das so ist, wie? Wenn nicht, was ist das Problem?