Zeigen Sie, dass die Menge aller reellen Zahlen, deren Dezimalschreibweise die Zahl 2 enthält, messbar ist

Ich möchte zeigen, dass jede reelle Zahl, die die Zahl 2 in ihrer Dezimalschreibweise enthält, messbar ist.

Ich weiß, dass jedes Singleton messbar ist und jede zählbare Vereinigung davon messbar ist, aber es gibt eine unzählbare Anzahl reeller Zahlen mit einer 2 darin. Ich bin mir nicht sicher, wie ich es zeigen soll. Ein Satz A ist Borel messbar, wenn A ∈ A der Borel σ Algebra. Kann man die Definition von a beweisen? σ Algebra das A ist abgeschlossen unter Komplement und abgeschlossen unter zählbaren Vereinigungen?

Ansonsten dachte ich daran, das Problem auf die rationalen Zahlen zu reduzieren, die zählbar sind. Könnte damit funktionieren Q sind eine dichte Untergruppe von R . Vielleicht, dass das Komplement jedes Singletons (das abgeschlossen und messbar ist) offen ist und in jeder offenen Menge mit einer reellen Zahl auch eine rationale Zahl ist und ich daher eine abzählbare Menge von Mengen bekomme?

Hinweis: Betrachten Sie die Menge der reellen Zahlen, deren Dezimalentwicklungen kein a enthalten 2 (und erinnern Sie sich an Fakten über die Cantor-Menge). Übrigens muss die Tatsache, dass einige reelle Zahlen zwei Dezimalerweiterungen haben, irgendwann behandelt werden, es sei denn, Sie wurden ausdrücklich angewiesen, nur nicht terminierende Dezimalerweiterungen zu berücksichtigen.

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Ich möchte zeigen, dass jede reelle Zahl, die die Zahl 2 in ihrer Dezimalschreibweise enthält, messbar ist.

Reelle Zahlen können nicht messbar sein. Es sind Mengen reeller Zahlen, die messbar sind oder nicht. Die richtige Aussage wäre also: die Menge aller reellen Zahlen, die die Zahl enthalten 2 in ihrer Dezimalschreibweise (nennen wir es A ) ist Borel-messbar.

Ein Satz A ist Borel messbar, wenn A ∈ A der Borel σ Algebra. Kann man die Definition von a beweisen? σ Algebra das A ist abgeschlossen unter Komplement und abgeschlossen unter zählbaren Vereinigungen?

Absolut nicht. Unter Komplementierung und abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen zu sein, ist eine Eigenschaft einer Mengenfamilie S haben können; dann nennen wir diese Familie a σ -Algebra. Aber A eine Menge reeller Zahlen ist, also macht es keinen Sinn zu fragen, ob sie unter Komplement oder zählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist.

Die Familie A von Borel-Mengen ist a σ -Algebra und eine Menge S ist Borel, wenn S ∈ A . Unser Ziel ist es also nicht, das zu zeigen A ist ein σ -Algebra (was keinen Sinn ergibt), aber das A ∈ A . Normalerweise tun wir das, indem wir explizit konstruieren A aus offenen Mengen unter Verwendung von Komplementen und zählbaren Vereinigungen.

Nun zur Frage: Beachten Sie das A kann geschrieben werden als

A = ⋃ k ∈ Z A k

Wo A k ist die Menge aller reellen Zahlen mit a 2 in ihrer Dezimalschreibweise genau an der Stelle k , dh

A k = { ± ∑ N = − ∞ M A N ⋅ 10 N : k ⩽ M   &   A k = 2 }

Wo A N 's sind die Ziffern der Erweiterung, also A N ∈ { 0 , 1 , … , 9 } . Versuchen Sie, das jeweils zu beweisen A k Borel ist, was den Beweis abschließen wird, da eine abzählbare Vereinigung von Borel-Mengen Borel ist.

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich habe eine Idee, wie ich das zeigen kann A k ist Borel messbar. Zum Beispiel für alle reellen Zahlen, die mit der Zahl 2 beginnen. Nach dem Komma habe ich noch alle reellen Zahlen und die sind als Komplement der leeren Menge Borel messbar und somit sind alle Zahlen, die mit einer 2 beginnen, Borel messbar? Ich bin mir nicht sicher, ob diese Schlussfolgerung richtig ist, aber wenn ja, könnten Sie dies für alle tun A k
Tut mir leid, es macht keinen Sinn. Was meinst du mit "nach dem Komma habe ich noch alle reellen Zahlen"? Behauptest du das A 0 (das ist die Menge aller Zahlen, die a haben 2 direkt vor dem Komma) ist gleich R ? Definitiv nicht, da 5 ∉ A 0 . Ich schlage vor, dass Sie versuchen, das Set zu zeichnen A 0 auf der realen Linie, um zu sehen, wie es aussieht.
Keine 5 wäre 2,5 und 14 wäre 2,14 ... du findest jede reelle Zahl hinter dem Komma. Ich bin mir nicht sicher, ob Sie damit fertig werden. Aber ich kam auf eine bessere Idee. Jede Grenze einer Folge in A k hat an der k-ten Stelle eine 2 und ist somit Element von A k und daher geschlossen.
Das hast du richtig erkannt A k geschlossen ist (was ausreicht, um den Beweis zu vervollständigen), aber das würde einer besseren Begründung bedürfen.
Aber was ist mit der Sequenz 2.9, 2.99, 2.99 ... ihr Limit ist 3 und nicht in A k ... Meine nächste Idee wäre, dass jede Zahl mit einer 2 an der k-ten Stelle im Intervall wäre [ 2 ∗ 10 ( − k ) , 3 ∗ 10 ( − k ) ] . Es gibt nur eine zählbare Menge dieser Intervalle und diese (geschlossenen) Intervalle sind alle in der Borel-Sigma-Algebra, ebenso ihre zählbare Vereinigung und daher A k ist in der Borel-Sigma-Algebra
Die Grenze von 2.9 , 2,99 , 2.999 , … Ist 2,9999 … = 3 also kann es so geschrieben werden, dass es a enthält 2 , also ist es drin A 0 . Die nächste Idee ist auch gut, muss aber noch etwas ausgearbeitet werden. Die Nummer 527 hat ein 2 auf der 1 Platz ( 7 ist an 0 Mai), aber 527 ∉ [ 20 , 30 ] .
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