Eine wachsende Funktion f:B→R, B⊂Rf:B→R, B⊂Rf:B\to\mathbb{R},\ B\subset\mathbb{R} muss an jedem Element von BBB außer a stetig sein zählbare Teilmenge von BBB

Ich versuche, die folgende Aussage zu beweisen, aber ich stecke schon eine Weile fest und suche nach einem Hinweis , wie ich es beweisen kann:

"Vermuten$B\subset\mathbb{R}$Und$f:B\to\mathbb{R}$ist eine steigende Funktion. Beweise das$f$ist stetig bei jedem Element von$B$mit Ausnahme einer zählbaren Teilmenge von$B$."

Was ich versucht habe:

Da ich die ursprüngliche Aussage nicht angehen konnte, habe ich es versucht, indem ich davon ausgegangen bin$B$ist auch ein Borel-Set, um die Tatsache in gewisser Weise auszunutzen$f$muss dann eine von Borel messbare Funktion sein. Dann wenn$D:=\{x\in B: f\text{ is not continuous at }x\}$Und$C$ist ein Borel-Set, das wir haben$f^{-1}(C)$ist ein Borel-Set und$f^{-1}(C)=(f^{-1}(C)\cap D)\cup (f^{-1}(C)\cap B\setminus D)$und an dieser Stelle habe ich versucht, im Widerspruch fortzufahren, das vorausgesetzt$D$ist unzählbar und versuchte das zu zeigen$(f^{-1}(C)\cap D)\cup (f^{-1}(C)\cap B\setminus D)$ist kein Borel-Set, aber es ist mir nicht gelungen, daher würde ich mich sehr über Hinweise, Kommentare oder Erklärungen freuen, die mich zu einem fruchtbareren Ansatz anregen könnten, danke .

EDIT (Beweis): Let$D:=\{x\in B:f\text{ is not continuous at }x\}$: seit$f$monoton (steigend) ist, kann es nur Sprungstellen haben, also wenn$d\in D$Dann$I_d:=(\lim\limits_{x \to d^-,\ x\in B\\}f(x),\lim\limits_{x \to d^+,\ x\in B}f(x))=(\sup_{x<d,\ x\in B}f(x),\inf_{x>d,\ x\in B} f(x))$ist ein nicht leeres Intervall in$\mathbb{R}$also muss es eine rationale Zahl geben$q_d$darin, was wir wählen können und da$I_d\cap I_{d'}=\emptyset$für$d\neq d'$* Diese rationale Zahl ist ebenfalls eindeutig, sodass wir eine injektive Funktion definieren können$g:D\to\mathbb{Q}, g(d):=q_d$. Daher$\#(D)\leq \#(\mathbb{Q})=\#(\mathbb{N})$dh die Menge der Punkte, an denen$f$ist diskontinuierlich ist (höchstens) zählbar, wie gewünscht.$\square$

(*) Vermuten$I_d\cap I_{d'}\neq\emptyset$für einige$d\neq d'$(wir können davon ausgehen, dass$d<d'$): dann muss es sein$y\in I_d\cap I_{d'}$So$\sup_{x<d,\ x\in B}f(x)<y<\inf_{x>d,\ x\in B}f(x)$Und$\sup_{x<d',\ x\in B}f(x)<y<\inf_{x>d',\ x\in B}f(x)$was impliziert (seit$d\leq d'\Rightarrow \inf_{x>d,\ x\in B}f(x)\leq \sup_{x<d', x\in B}f(x)$) Das$y<y$, Widerspruch.