Warum ist die μμ\mu-messbare Menge in der Borel-Menge enthalten?

Question

Warum ist die μμ\mu-messbare Menge in der Borel-Menge enthalten?

Borel-Sets
Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie

XXX

Ich lese gerade das letzte Kapitel von Baby Rudin. Ich habe Probleme, den Unterschied zwischen zu verstehen $\mu$ - messbare Mengen und die Borel-Mengen. Die Bemerkungen auf Seite 309 implizieren, dass letzteres in ersterem enthalten ist. Aber so wie ich es sehe, sind sie beide die Sammlung von Mengen, die die endgültigen Formen offener Intervalle sind, nachdem sie Schnittpunkte durchlaufen haben, Komplemente und Vereinigungen genommen haben. Also was genau sind $\mu$ - messbare Sätze? Und warum sind die Borel-Sets $\mu$ - für jeden messbar $\mu$ ?

HallaÜberlebender

Willkommen bei mse! Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage verstehe. Fragen Sie, warum jeder Borel-Satz ist

μ

$\mu$ -messbar (wobei ich annehme

μ

$\mu$ ist Lebesgue-Maß?)? Oder fragst du, warum es sie gibt

μ

$\mu$ -messbare Sätze, die nicht langweilig sind?

ndhanson3

Also ja, alle Borel-Sets sind messbar. Es sollte irgendwo ein Beispiel für eine Menge geben, die mit der Cantor-Funktion einer messbaren Menge definiert ist, die nicht Borel ist.

ndhanson3

Auch,

μ

$\mu$ ist keine Variable,

μ

$\mu$ ist eine Abkürzung für das Lebesgue-Maß.

XXX

@HallaSurvivor Hallo! Ich finde

μ

$\mu$ kann jedes Maß sein, nicht nur das Lebesgue-Maß. Ich bin sehr verwirrt über das Konzept von

μ - m e a s u r a b l e

$\mu-measurable$ setzt. Sind sie für ein beliebiges Maß definiert, dh eine Sammlung messbarer Mengen, oder beziehen sie sich nur auf ein bestimmtes Maß?

XXX

@ndhanson3 Ich denke, Rudin verwendet

m

$m$ für das Lebesgue-Maß und

μ

$\mu$ für jede Art von Maßnahme

Daniel

Diese Frage hat die Konstruktion, aber es ist beteiligt. Es ist schwer, Borel-Sets zu finden, die nicht mit Lebesgue messbar sind, aber es gibt sie.

ndhanson3

@DanielApsley Du meinst Lebesgue messbar, aber nicht Borel.

Antworten (1)

Warum ist die μμ\mu-messbare Menge in der Borel-Menge enthalten?

Willkommen bei mse! Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage verstehe. Fragen Sie, warum jeder Borel-Satz ist $\mu$ -messbar (wobei ich annehme $\mu$ ist Lebesgue-Maß?)? Oder fragst du, warum es sie gibt $\mu$ -messbare Sätze, die nicht langweilig sind?
Also ja, alle Borel-Sets sind messbar. Es sollte irgendwo ein Beispiel für eine Menge geben, die mit der Cantor-Funktion einer messbaren Menge definiert ist, die nicht Borel ist.
Auch, $\mu$ ist keine Variable, $\mu$ ist eine Abkürzung für das Lebesgue-Maß.
@HallaSurvivor Hallo! Ich finde $\mu$ kann jedes Maß sein, nicht nur das Lebesgue-Maß. Ich bin sehr verwirrt über das Konzept von $\mu-measurable$ setzt. Sind sie für ein beliebiges Maß definiert, dh eine Sammlung messbarer Mengen, oder beziehen sie sich nur auf ein bestimmtes Maß?
@ndhanson3 Ich denke, Rudin verwendet $m$ für das Lebesgue-Maß und $\mu$ für jede Art von Maßnahme
Diese Frage hat die Konstruktion, aber es ist beteiligt. Es ist schwer, Borel-Sets zu finden, die nicht mit Lebesgue messbar sind, aber es gibt sie.

ndhanson3 · Answer 1

Für jedes Maß $\mu$ , Bemerkung (a) sagt, dass die offenen Mengen sind $\mu$ -messbar. Ein Satz $E$ Ist $\mu$ -messbar einfach wenn $\mu(E)$ ist definiert. Nicht jeder Satz ist jedoch messbar.

Also die Menge der messbaren Mengen $\mathfrak{M}(\mu)$ ist ein $\sigma$ -Algebra mit den offenen Mengen. Da das Borel-Set das kleinste ist $\sigma$ -Algebra, die die offenen Mengen enthält, $\mathfrak{M}(\mu)$ muss alle Borel-Sets enthalten. Dies ist in der Tat unabhängig davon, mit welcher Maßnahme wir beginnen.

Warum ist die μμ\mu-messbare Menge in der Borel-Menge enthalten?

XXX

HallaÜberlebender

ndhanson3

ndhanson3

XXX

XXX

Daniel

ndhanson3

Antworten (1)

ndhanson3

Eine reellwertige Funktion, die auf einer Borel-Teilmenge von RR\mathbb{R} mit einer zählbaren Anzahl von Diskontinuitäten definiert ist, ist Borel-messbar

Zeigen Sie, dass die Menge aller reellen Zahlen, deren Dezimalschreibweise die Zahl 2 enthält, messbar ist

Frage zu Borel-messbaren Funktionen und Borel-Sigma-Algebren.

Die Sammlung von Borel-Mengen BB\mathcal{B} ist translationsinvariant

Ist f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definiert durch f(x,y)=xyf(x,y)=xyf(x,y)=xy Borel -messbar?

Eine wachsende Funktion f:B→R, B⊂Rf:B→R, B⊂Rf:B\to\mathbb{R},\ B\subset\mathbb{R} muss an jedem Element von BBB außer a stetig sein zählbare Teilmenge von BBB

A+BA+BA+B Borel gesetzt, wenn AAA zählbar ist, offen.

Wenn fff messbar von Borel und BBB eine Borel-Menge ist, dann ist f−1(B)f−1(B)f^{-1}(B) eine Borel-Menge.

Ist eine Teilmenge von RR\mathbb{R} eine Borel-Menge?

Wenn B⊂RB⊂RB\subset\mathbb{R} eine Borel-Menge und f:B→Rf:B→Rf:B\to\mathbb{R} eine wachsende Funktion ist, dann ist f(B)f(B)f (B) ist ein Borel-Set