Nachbar von nicht messbarer Funktion noch nicht messbar

Question

Nachbar von nicht messbarer Funktion noch nicht messbar

Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie
messbare Funktionen

Laurenz PW

Gibt es eine nicht messbare Funktion? $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ so dass für jede Funktion $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit

| G (X) - F (X) | < 1

$|g(x)-f(x)|<1$ für alle

x \in R

$x \in \mathbb{R}$ , Dann

g

$g$ ist auch nicht messbar?

Ich denke an die Funktion $f$ so dass $f(x)=|x|+100$ für $x$ in jeder nicht messbaren Teilmenge von $\mathbb{R}$ Und $f(x)=|x|-100$ für $x$ in jedem messbaren Satz von $\mathbb{R}$ . Aber ich weiß nicht, ob das funktioniert oder nicht, da sich messbare Mengen und nicht messbare überschneiden können. Danke.

Hinweis: Das Maß hier ist das Lebesgue-Maß

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Nachbar von nicht messbarer Funktion noch nicht messbar

Rhys Steele · Answer 1

Deine Grundidee funktioniert. Korrigieren Sie eine nicht messbare Teilmenge $A \subseteq \mathbb{R}$ und definieren $f = 3 1_A$ . Wenn $g$ ist dann messbar $g^{-1}(2, \infty)$ ist messbar. Wenn $|f(x) - g(x)| < 1$ für jeden $x$ Dann $g(x) > 2$ iff $x \in A$ so dass $A$ messbar ist, was ein Widerspruch ist.

Danke, ich war im Zweifel, ob es einen nicht leeren Schnittpunkt einer nicht messbaren und einer messbaren Menge gibt, also habe ich keine charakteristische Funktion ausprobiert.

Nachbar von nicht messbarer Funktion noch nicht messbar

Laurenz PW

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Rhys Steele

Laurenz PW

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