Geschlossen, aber nicht kompakt in einem metrischen Raum

Beachten Sie, dass Ihre Übung die Bedingung auferlegt, dass der Umgebungsraum ($X$, oder$\mathbb{R}$in Ihrem Beispiel) ist kompakt. Als$\mathbb{R}$nicht kompakt ist, ist Ihr Beispiel kein Gegenbeispiel für die Übung.

$(X, d)$kompakt.$Y\subseteq X$ist kompakt gff$Y\subseteq X$ist geschlossen.

Nachweisen:

$Y\subseteq X$Und$(Y, d_Y)$ist kompakt.

Vermuten,$(y_n) \subseteq Y$sei eine beliebige Folge mit$(y_n)\to x$In$(X, d)$.

Seit,$(Y, d_Y)$ist kompakt,$\exists (y_{n_k})$eine konvergente Teilfolge von$(y_n)$Im Weltall$(Y, d_Y)$

Dann,$(y_{n_k})\to x \leftarrow (x_n)$

Dies impliziert,$x\in Y$

Somit,$Y\subset X$ist geschlossen.

Umgekehrt.

$Y\subset X$ist geschlossen.

Zeigen,$(Y, d_Y)$ist kompakt.

Lassen,$(x_n) \subseteq Y$sei eine beliebige Folge.

Dann,$(x_n) \subseteq X$und aufgrund der Kompaktheit von$(X, d)$, gibt es eine Unterfolge$(x_{n_k})$so dass$(x_{n_k}) \to x$In$(X, d)$

Seit,$(x_{n_k}) \subseteq Y$Und$Y\subseteq X$geschlossen ist impliziert$x\in Y$.

Daher jede Sequenz in$(Y, d_Y)$hat eine konvergente Teilfolge und dies impliziert$(Y, d_Y)$ist kompakt.

Daher ist ein solches Gegenbeispiel, das Sie zu finden versucht haben, nicht möglich.