Kann man eine ungerade Funktion in eine gerade umwandeln? [geschlossen]

Nein. Betrachten Sie die so definierte Funktion$f(x) = x$für$-a/2 < x < a/2$,$f(a/2) = f(-a/2) = 0$, Und$f(x) = f(x-a)$andernfalls (dh eine Sägezahnwelle). Unten ist diese Funktion für$a = 1$.

Dies ist eine seltsame Funktion. Es sollte jedoch relativ offensichtlich sein, dass der Graph dieser Funktion keine vertikalen Symmetrielinien aufweist und daher keine Übersetzung von vorliegt$f$so dass$f(x-b) = f(b-x)$.

Wenn Sie dagegen sind, eine diskontinuierliche Funktion zu haben, sollte es relativ einfach sein, sich eine "abgerundete" Sägezahnwelle vorzustellen, die kontinuierlich ist, aber immer noch keine vertikalen Symmetrielinien in ihrem Diagramm hat:

Betrachten Sie für ein konkreteres Beispiel die Funktion$f(x) = \sin x + \sin(2x)$, die eine glatte ungerade Funktion mit Periode 2π ist, aber keine vertikalen Symmetrielinien hat:

Ich denke, Sie haben den Fall$f=\sin, g=\cos, a=2\pi$im Kopf. Leider funktioniert das nicht generell: take$f(x)=\operatorname{sgn}(x) \cdot \{|x|\}$oder$f(x)=\sin(x+\sin x)$.

Ja, das ist manchmal möglich. Aber diese Methode funktioniert nicht für alle Funktionen (die Newton-Reihe unten konvergiert nicht).

Transformation gerade->ungerade:

Vermuten$f(x)$ist eine Funktion, die die folgende Bedingung erfüllt:

Wo die Koeffizientenfunktion$G^*(x)=G(2s)$ist gleich seiner Erweiterung der Newton-Reihe:

Was wir hier machen, ist die Newtonsche Interpolation aufeinanderfolgender Ableitungen über gerade Punkte, um die Werte an ungeraden Punkten zu erhalten.

Die Funktion$f(x)$ist offenbar gerade. Jetzt der Betreiber

wandelt eine gerade Funktion in ein ungerades Gegenstück um. Der Operator ist linear.

Der umgekehrte Prozess ist ähnlich, für ungerade Funktion:

Und$G^*(s)=G(2s+1)$, die die gleiche Bedingung der Newton-Reihe erfüllt,

Der folgende Operator gibt ein gerades Gegenstück:

Beispiele.

$f_1(x)=\cosh x$;

$f_2(x)=\sinh x$;

$G(s)=1$

$f_1(x)=x \coth \left(\frac{x}{2}\right)$

$f_2(x)=x$

$G(s)=-2s\zeta(1-s,1)=2 B_s(1)$

$f_1(x)=\csc ^2(x)-\frac{1}{x^2}$

$f_2(x)=\frac{\psi ^{(1)}\left(1-\frac{x}{\pi }\right)}{\pi ^2}-\frac{\psi ^{(1)}\left(\frac{x}{\pi }+1\right)}{\pi ^2}$

$G(s)=\frac{2 (-1)^s \psi ^{(s+1)}(1)}{ \pi ^{s+2}}$

Der Fall von$\cos$ist komplizierter, da es keine Funktionen gibt$G^*(s)$, so dass ihre Newton-Reihe konvergiert. Technisch wird es die bidirektionale Newton-Reihenerweiterung geben$G(s)=\cos(\pi s/2)$. Aber dadurch wird das ungerade Gegenstück konstant gleich Null sein. Eine andere Funktion, die die Interpolation erfüllt, ist$G(s)=(-1)^{s/2}$, das wird geben

$f_1(x)=\cos x$

$f_2(x)=i \sin x$

$G(s)=(-1)^{s/2}$

Angesichts des letzten Ergebnisses und der Tatsache, dass Sie an periodischen Funktionen interessiert sind, scheint es eine vernünftige Idee zu sein, einfach die Fourier-Reihenerweiterung Ihrer ursprünglichen ungeraden Funktion zu finden und einfach alle Sinus in Kosinus zu ändern (die Fourier-Erweiterung einer ungeraden Funktion). enthält keine Kosinusse). Tatsächlich haben periodische Funktionen aufgrund der Divergenz der Newton-Reihen keine natürliche Möglichkeit, sie zwischen gerade und ungerade umzuwandeln, aber dies ist möglicherweise die beste Option.

Ich habe Ihre Frage vielleicht nicht richtig verstanden, aber ich vermute, dass der Absolutwert jede ungerade Funktion in eine gerade Funktion umwandelt.