Zwei periodische Funktionen mit Periode 1

Question

Zwei periodische Funktionen mit Periode 1

Derivate
Mathematik
Realanalyse
periodische Funktionen

langsame Spinne

Ich studiere gerade für ein Abitur und bin auf folgende Frage gestoßen:

Nehme an, dass $f$ Und $g$ sind reellwertige Funktionen auf $\mathbb{R}$ mit Periode 1 und stetigen ersten Ableitungen. Beweise das $f'(c) = g'(c)$ für einige nicht negativ $c \in \mathbb{R}$

Meine anfängliche Herangehensweise an dieses Problem bestand darin, den Mittelwertsatz für zu verwenden $f$ Und $g$ bestimmte Werte zu erhalten, bei denen beide Ableitungen verschwinden. Dies erwies sich jedoch nicht als wirksam, um das gewünschte Ergebnis zu beweisen.

Irgendwelche Vorschläge, wie man dieses Problem angeht, wären sehr dankbar.

AD - Putin stoppen -

würde ich mir anschauen

h = f - g

$h=f-g$ .

langsame Spinne

Schön, das ist eine schnelle und schmerzlose Möglichkeit, dieses Problem anzugehen.

Antworten (1)

Zwei periodische Funktionen mit Periode 1

Schön, das ist eine schnelle und schmerzlose Möglichkeit, dieses Problem anzugehen.

Kavi Rama Murthy · Answer 1

$0=f(1)-f(0)=\int_0^{1}f'(t)dt$ Und $0=g(1)-g(0)=\int_0^{1}g'(t)dt$ . Somit $\int_0^{1}f'(t)dt=\int_0^{1}g'(t)dt$ . Wenn $f'(c) \neq g'(c)$ für alle $c$ zwischen $0$ Und $1$ dann entweder $f'(t) >g'(t)$ für alle $t$ in diesem Intervall bzw $g'(t) >f'(t)$ für alle $t$ in diesem Intervall (durch die Zwischenwert-Eigenschaft stetiger Funktionen). Siehst du einen Widerspruch?

Schön, ich sehe, wo der Widerspruch ins Spiel kommt. Aber wie $f'(t)>g'(t)$ oder $g'(t)>f'(t)$ aus dem Zwischenwertsatz folgen?
Ich wende den Satz auf die stetige Funktion an $f'(t)-g'(t)$ . Wenn es sowohl positive als auch negative Werte annimmt, muss es irgendwann verschwinden, richtig? @algebraicgeometer22
Oh, ich verstehe; Ich verstehe jetzt den Beweis. Danke für die Hilfe!
@algebraicgeometer22 Wenn Sie zufrieden sind, können Sie die Antwort genehmigen. Andernfalls wird dies als unbeantwortete Frage aufgeführt.

Zwei periodische Funktionen mit Periode 1

langsame Spinne

AD - Putin stoppen -

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Kavi Rama Murthy

langsame Spinne

Kavi Rama Murthy

langsame Spinne

Kavi Rama Murthy

Wenn eine Funktion fff LLL-periodisch ist, dann hat f′f′f′ 222 Nullstellen in [0,L)[0,L)[0,L)?

Bedingung notwendig und hinreichend, damit eine Funktion periodisch ist

Wenn eine Funktion fff LLL-periodisch und gerade ist, dann hat f′f′f′ 222 Nullstellen in [0,L)[0,L)[0,L)?

Gegenbeispiel zur gleichmäßigen Konvergenz einer differenzierbaren Funktionsfolge

Existenz einer Ableitung an einem Punkt

Wenn fff ungerade und periodisch ist, dann ist eine Übersetzung von fff gerade?

Warum beweist MVT nicht, dass alle Ableitungen stetig sind?

Zeigen Sie, dass f(x,y)=xy3+exyf(x,y)=xy3+exyf(x,y)= xy^3+e^{xy} in jeder Richtung richtungsdifferenzierbar ist

Ein Wendepunkt, an dem die zweite Ableitung nicht existiert?

Mittelwertsatz (ein anderer)