Warum beweist MVT nicht, dass alle Ableitungen stetig sind?

Question

Warum beweist MVT nicht, dass alle Ableitungen stetig sind?

Benutzer783401

Offensichtlich stimmt etwas mit dem folgenden Argument nicht, aber ich bin nicht ganz das, was ist. Lassen $f$ differenzierbar sein $(-1,1)$ und beheben $0<x<1$ . Dann, von MVT, gibt es $0<y<x$ so dass

\frac{F (X) - F (0)}{X} = F^{'} (j)

$\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(y)$ Unter der Grenze als

x \to 0

$x \rightarrow 0$ auf beiden Seiten gibt

f^{'} (0)

$f'(0)$ per Definition auf der LHS, also bekommen wir

f^{'} (0) = lim_{x \to 0} f^{'} (y)

$f'(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f'(y)$ , was zu beweisen scheint

f^{'}

$f'$ ist seitdem stetig bei Null

y \to 0

$y \rightarrow 0$ als

x \to 0

$x \rightarrow 0$ . Auch hier weiß ich, dass dies falsch ist, und kann ein Gegenbeispiel liefern (z.

f (x) = x^{2} \sin (1 / x)

$f(x) = x^2\sin(1/x)$ , So

f^{'} (0) = 1

$f'(0) = 1$ Aber

f^{'} (x) < 0

$f'(x) < 0$ in Stadtteilen von

0

$0$ ). Kann mir jemand genau sagen, welcher Schritt ungültig ist? Basierend auf den Bedingungen der Herrschaft von L'Hopital scheint der Fehler zu sein, dass ich annehme

lim_{x \to 0} f^{'} (y)

$\lim_{x \rightarrow 0} f'(y)$ existiert, aber ich bin mir nicht sicher, ob es das ist, da wir gerade bewiesen haben, dass es existiert und gleich ist

f^{'} (x)

$f'(x)$ .

pancini

Dieselbe Logik liefert einen falschen Beweis dafür, dass jede Funktion mit der Zwischenwerteigenschaft stetig ist. Es hilft zu sehen, was mit dem Gegenbeispiel passiert

x \mapsto \sin (1 / x)

$x\mapsto \sin(1/x)$ Und

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$ .

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Warum beweist MVT nicht, dass alle Ableitungen stetig sind?

Dieselbe Logik liefert einen falschen Beweis dafür, dass jede Funktion mit der Zwischenwerteigenschaft stetig ist. Es hilft zu sehen, was mit dem Gegenbeispiel passiert $x\mapsto \sin(1/x)$ Und $0\mapsto 0$ .

mathcounterexamples.net · Answer 1

Die erste Aussage ist tatsächlich falsch. Du hast

\frac{F (X) - F (0)}{X} = F^{'} (j_{X})

$\frac{f(x)-f(0)}{x} = f^\prime (y_x)$ nach dem MVT wo $y_x \in (0,x)$ kommt drauf an $x$ . Sie haben also keine Möglichkeit, das zu beweisen

lim_{x \to 0} f^{'} (x)

$\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(x)$ besteht darauf basierend. Das kann man nur behaupten

lim_{x \to 0} f^{'} (y_{x}) = f^{'} (0)

$\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(y_x) =f^\prime(0)$ .

Auch deine zweite Aussage ist falsch. $f(x)=x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)$ ist in Null und differenzierbar $f^\prime(0)=0$ . Wie Sie jedoch richtig bemerkt haben, hat die Ableitung keine Grenze bei Null.

Richtig, wir haben also gezeigt, dass es eine bestimmte Sequenz gibt $\{f'(y_x)\}$ was dazu neigt $f'(0)$ , aber nicht alle solche Sequenzen $\{z_x\}$ so dass $z_x \rightarrow 0$ erfüllen $\lim_{x \rightarrow 0} f'(z_x) = f'(0)$ , also können wir nicht auf Kontinuität schließen. Ist das ungefähr richtig? Auch mit dem zweiten Teil, an den ich gedacht habe, hast du recht $x + x^2sin(1/x)$ , guter Fang.

Anonym · Answer 2

Die logische Abhängigkeit zwischen $x$ Und $y$ ist in die falsche Richtung.

Hier als $x \to 0$ durch positive Werte gibt es für jeden etwas $x > 0$ ein entsprechendes $y \in (0,x)$ .

Damit das Argument funktioniert, müssten Sie das als beweisen $y \to 0$ durch positive Werte, für jeden Wert von $y$ es gibt eine entsprechende $x > y$ so dass $f'(y) = (f(x) - f(0))/x$ , wobei die Abhängigkeit zusätzlich so ist, dass as $y \to 0$ , wir haben $x \to 0$ .

robjohn · Answer 3

Der Mittelwertsatz besagt, dass wenn $f$ ist an allen Punkten differenzierbar $[a,b]$ , dann gibt es einen Punkt $a\lt\xi\lt b$ so dass

\frac{F (B) - F (A)}{B - A} = F^{'} (ξ)

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$ In Betracht ziehen

f (x) = x^{2} \sin (\frac{1}{x})

$f(x)=x^2\sin\left(\frac1x\right)$ . Das folgende Bild zeigt die Diagramme von

f^{'} (x)

$f'(x)$ Und

\frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ :

Der Mittelwertsatz garantiert, dass eine horizontale Linie durch jeden Punkt auf dem Graphen von $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ schneidet den Graphen von $f'(x)$ irgendwo dazwischen $0$ Und $x$ . Wie ersichtlich, kann darauf verzichtet werden $\lim\limits_{x\to0}f'(x)$ bestehende.

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Benutzer783401

pancini

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mathcounterexamples.net

Benutzer783401

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Anonym

robjohn

Gegenbeispiel zur gleichmäßigen Konvergenz einer differenzierbaren Funktionsfolge

Existenz einer Ableitung an einem Punkt

Zeigen Sie, dass f(x,y)=xy3+exyf(x,y)=xy3+exyf(x,y)= xy^3+e^{xy} in jeder Richtung richtungsdifferenzierbar ist

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