Beweis des Satzes von Rolle in Apostol: Sinnhaftigkeit des Inneren

Gemäß der Aussage des Satzes von Rolle im Apostolischen Kalkül 1 müssen wir eine stetige Funktion haben S = [ A , B ] , und diese Funktion sollte eine Ableitung im Inneren von haben S . Ich bekomme diesen Zustand nicht.

a) Warum ist die Ableitung auf das Innere beschränkt? Sorgt nicht die richtige Ableitung für die richtige Kontinuität?

b) Damit stellt der Beweis sicher, dass es welche gibt C , st A < C < B , Wo F ' ( C ) = 0 . Aber warum nicht versuchen, es zu beweisen A ≤ C ≤ B ?

Historischer Teil der Frage: In Apostol Rolles Satz wird verwendet, um den Mittelwertsatz zu beweisen, der wiederum verwendet wird, um Konvexitätseigenschaften von Ableitungen zu beweisen, und es gibt ein großes Problem mit Endpunkten: Angenommen, die Ableitung ist 𝑓′(𝑥). streng positiv auf (𝑎,𝑏), dann ist die Funktion streng steigend auf [𝑎,𝑏]. Dies ist die Schlussfolgerung aus den Rolle-> Mittelwertsätzen oben im nächsten Abschnitt von Apostol. Aber der Satz von Rolle gibt die Endpunkte 𝑎 und 𝑏 nicht als gültige Stellen für die Ableitung Null an! Es scheint unbewiesen, dass die Funktion 𝑓(𝑥) auf [𝑎,𝑏] zunimmt, wenn sie beispielsweise an einem Punkt 𝑎 abnimmt und im Inneren weiter zunimmt.

Antworten (3)

a) Da nur davon ausgegangen wird, dass die Einschränkung von F Zu ( A , B ) differenzierbar ist, reicht aus, um den Satz von Rolle zu beweisen, warum sollte jemand die zusätzliche Hypothese hinzufügen, dass F ist auch differenzierbar bei A und bei B ?

b) Beachte das ∃ C ∈ ( A , B ) ist stärker als ∃ C ∈ [ A , B ] .

Ja, ich habe ein paar Minuten darüber nachgedacht. So habe ich mir das eigentlich nicht vorgestellt. Wenn es tatsächlich für (a, b) funktioniert, sollte es auch für [a, b] funktionieren. Irgendwie hat mein Gehirn diese Verbindung nicht hergestellt. Danke.
Es freut mich, dass ich helfen konnte.

Die Anforderung, dass F ' ( A ) Und F ' ( B ) auch existieren macht die Prämisse unnötig stark. Zulassen C = A oder C = B macht den Schluss unnötig schwach. Daher schwächen Ihre beiden Änderungen den Satz.

Könnten Sie die Abschwächung der Schlussfolgerung ein wenig erläutern? Habe den zweiten Teil der Antwort nicht verstanden: Warum ist es schwach, c = a zu setzen?
Der Satz von @ John Rolle hat die Form P → Q . Ersetzen P mit P ∧ R und/oder Q mit Q ∨ S ist eine Schwächung. Hier, P Ist " F ist durchgehend an [ A , B ] und weiter differenzierbar ( A , B ) A N D f(a9=f(b) " , Q ich S es existiert C ∈ ( A , B ) mit F ' ( C ) = 0 , R Ist " F ist (auch) differenzierbar bei A Und B ", Und S ist "es existiert C ∈ { A , B } mit F ' ( C ) = 0 "

In Bezug auf den historischen Teil, insbesondere „Es fühlt sich unbewiesen an, dass die Funktion F ( X ) nimmt zu [ A , B ] , wenn es zum Beispiel an einem Punkt abnehmen kann A , und im Inneren weiter zunehmen."

Wie es sich "anfühlt", spielt keine Rolle. Was ist das eigentliche Problem mit dem Beweis?

Unter der Annahme, dass der Beweis in Apostol der Standard ist:

Satz Angenommen F ist durchgehend an [ A , B ] , differenzierbar auf ( A , B ) , Und F ' > 0 An ( A , B ) . Dann F nimmt zu [ A , B ] .

Beweis: Wir müssen zeigen, dass wenn A ≤ a < β ≤ B Dann F ( a ) < F ( β ) . Seit F ist durchgehend an [ a , β ] und weiter differenzierbar ( a , β ) , MVT zeigt, dass es existiert C ∈ ( a , β ) ⊂ ( A , B ) mit

F ( β ) − F ( a ) = ( β − a ) F ' ( C ) .
Seit β − a > 0 Und F ' ( C ) > 0 Dies zeigt, dass F ( β ) − F ( a ) > 0 . QED.

Die Tatsache, dass F ist vielleicht bei nicht differenzierbar A Und B einfach egal.

Ja, wenn wir hätten F Erfüllung all dieser Bedingungen und auch F ' ( A ) < 0 das wäre ein Problem. Aber so etwas gibt es nicht F .

Ja, ich habe diesen Teil der Frage entfernt. Genau dieser Beweis wird in Apostol gegeben. Ich dachte nur etw mit "was ist, wenn c auf a oder b fällt". Aber es ist genau so, wie du schreibst: Wenn MVT für den Innenraum bewiesen ist, gilt das automatisch auch für das geschlossene Intervall. Dann passt alles.
@John Ja, du hast es entfernt. Sie sollten das wirklich nicht tun, nachdem es beantwortet wurde.
Leider wurde Ihre Antwort noch nicht gepostet, als ich diesen Teil entfernte. Ich habe es zurückgegeben, damit Ihre Antwort der Frage vollständig entspricht, und danke für Ihre Hilfe! :)
@ John Oh. Verzeihung...
Beweis des Satzes von Rolle in Apostol: Sinnhaftigkeit des Inneren
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