Existenz einer Ableitung an einem Punkt

Ich habe die Funktion F ( X ) = X 1 + | X | und ich muss herausfinden, wo es abgeleitet ist, sowie alle Punkte, an denen es nicht existiert. Die Ableitung ist ziemlich einfach zu finden, F ' ( X ) = 1 ( 1 + | X | ) 2 . Diese Ableitung existiert offensichtlich bei X ≠ 0 , aber mit absoluten Werten und so weiter, machte ich mir Sorgen um die Existenz von X = 0 . Unter Verwendung der Definition der Ableitung bei 0;

F ' ( 0 ) = lim H → 0 ( F ( 0 + H ) − F ( 0 ) H ) = lim H → 0 ( 1 | H | + 1 ) = 1

Diese Grenze existiert eindeutig und ist gleich 1, sowohl von links als auch von rechts, und stimmt mit dem allgemeinen Ausdruck für die Ableitung von oben überein. So scheint es F sollte überall differenzierbar sein. Mein Buch behauptet das jedoch X = 0 , F ist nicht differenzierbar. Fehlt mir an einer Stelle etwas an der Definition der Differenzierbarkeit, oder habe ich etwas ganz anderes übersehen? Jede Hilfe wäre sehr willkommen!

Ich denke, dass Sie Recht haben.
Die Funktion ist bei differenzierbar 0 aber die Ableitung ist (kann ein Tippfehler sein) 1 ( 1 + | X | ) 2 , und das ist nicht differenzierbar an 0 .
@nicomezi Sie scheinen zu sagen, dass die Ableitung bei Null nicht differenzierbar ist, aber ich denke, das ist irrelevant dafür, ob die Funktion selbst bei Null differenzierbar ist oder nicht.
@Joanpemo Dies diente natürlich nur dazu, einen möglichen Fehler zu vermeiden.
@nicomezi Danke, jetzt verstehe ich.

Antworten (1)

Anders gesagt: Warum schreiben Sie Ihre Funktion nicht explizit auf?:

F ( X ) = { X 1 − X = − 1 + 1 1 − X , X < 0 X 1 + X = 1 − 1 1 + X , X ≥ 0

Damit ist die Funktion jederzeit eindeutig differenzierbar X ≠ 0 . Bei Null haben wir:

lim X → 0 − F ( X ) − F ( 0 ) X = lim X → 0 − 1 1 − X = 1 lim X → 0 + F ( X ) − F ( 0 ) X = lim X → 0 + 1 1 + X = 1

Da beide einseitig Grenzen setzen F ' ( 0 ) endlich existieren und gleich sind haben wir das F ' ( 0 ) = 1 , also ist die Funktion tatsächlich überall differenzierbar.

Existenz einer Ableitung an einem Punkt
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