Beweisaussage zum Infimum des Bildes einer Menge mit monoton steigender Funktion

Ich habe Schwierigkeiten, einen Beweis einer Aussage zu vervollständigen (mein Versuch steht hinter der Aussage):

Gegeben sei eine monoton steigende Funktion$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, und eine beschränkte Menge$A\subset \mathbb R$, das versuche ich zu beweisen

$\inf(f(A))=f(\inf(A))$

bei dem die$f(A)$ist die durch definierte Menge$f(A)=\{f(a) : \,a\in A\}$.

Das konnte ich beweisen$\inf(f(A)) \geq f(\inf(A))$:

Lassen$a\in A$. Dann per Definition von$\inf$:

$$a\geq \inf(A)$$

Weil$f$ist für alle monoton steigend$a,b\in \mathbb R$so dass$a\geq b$,$f(a) \geq f(b)$.

So:

$$\forall a\in A\quad f(a)\geq f(\inf(A))$$

Was bedeutet, dass

$$\inf(f(A))\geq f(\inf(A))$$

Ich kämpfe damit, die umgekehrte Ungleichung zu zeigen (oder einen Widerspruch der starken Ungleichung zu zeigen). Ich habe versucht, die Definition von zu verwenden$\inf$mit$\epsilon$aber ich habe nichts gesehen, was beim Beweis helfen könnte.

Wie könnte ich also den Rest der Aussage beweisen? (Und ist mein Beweis bis zu diesem Punkt richtig?)

Ich habe mich umgesehen und nichts über das Bild einer Menge gefunden (abgebildet durch eine monotone Funktion).

BEARBEITEN:

Es scheint, dass die Aussage nicht wahr ist (eine Antwort gibt ein Gegenbeispiel). Also, ich nehme an, wenn$f$kontinuierlich ist, dann stimmt es, aber ich habe es nicht überprüft.