Warum sind inf und sup von Nullmengen als Unendlichkeiten definiert?

Ich lese die Definition von ich N F ∅ Und S u P ∅ .

a) Ich frage mich warum ich N F ∅ = ∞ Und S u P ∅ = − ∞ . Ich hätte erwartet, dass beide undefiniert sind.

b) Kann im Allgemeinen etwas unendlich sein, wenn es nicht im System der erweiterten reellen Zahlen enthalten ist? Sollte ich davon ausgehen, dass sie in diesen Definitionen ungefähr erweiterte reelle Zahlen verwenden?

Als allgemeine Regel gilt: Wenn wir mit der Definition eines Ausdrucks davonkommen (dh ausgewählte Regeln dafür, wie diese Art von Ausdrücken weiterhin gültig bleiben), dann definieren wir sie. So können wir zum Beispiel in der Kombinatorik und der elementaren Mengenlehre begründen 0 ! = 1 Und 0 0 = 1 .
Wenn Sie nicht das erweiterte reelle Zahlensystem verwenden, was sind inf R Und sup R ?

Antworten (4)

Haben

(1) inf ∅ = ∞  Und  sup ∅ = − ∞
ist das nur so zu definieren inf ∅ Und sup ∅ damit du immer dabei bist
A ⊂ B ⟹ inf A ⩾ inf B Und sup A ⩽ sup B .
Und ja, man kann nur haben ( 1 ) wenn wir mit den erweiterten reellen Zahlen arbeiten.

Nur eine kleine Frage: Wenn Sie schreiben A ⊂ B erlauben Sie die Möglichkeit, dass A = B ? Und wenn ja, gibt es einen Grund, warum Sie dies lieber schreiben als zu schreiben? A ⊆ B ?
Das lasse ich zu. Ich mache das, weil ich wie die meisten Mathematiker „ A ⊂ B " als " A ist eine Teilmenge von B “. Und deshalb benutze ich die Notation nie A ⊆ B (Obwohl ich manchmal benutze A ⊊ B ).

Wie andere gesagt haben, setzt dies voraus, dass wir in den erweiterten Realen arbeiten.

Im Gegensatz zu dem, was die anderen sagten, sup ∅ = − ∞ ist keine Definition aus Bequemlichkeit. Es ist eine direkte Folge der normalen Definition des Supremums: die kleinste Obergrenze der Menge. Da alles eine Obergrenze der leeren Menge ist (alles ist größer als alle seine Elemente), ist die kleinste Obergrenze − ∞ .

Im Wesentlichen gilt das Gleiche für das Infimum.

Sie können davon ausgehen, dass der Autor für diese Definitionen den erweiterten reellen Zahlenstrahl verwendet hat.

Tatsächlich ist hier eine Motivation für die obige Definition.

Wenn Sie zwei Sätze haben A ⊆ B ⊆ R , dann willst du, dass sie zufrieden sind

inf A ≥ inf B , sup A ≤ sup B .

Sie können überprüfen, ob dies immer funktioniert, wenn beides der Fall ist A Und B sind nicht leer.

Wir möchten, dass dies wahr bleibt, auch wenn wir es akzeptieren A = ∅ . Wir müssen dann haben

inf ∅ ≥ inf B , sup ∅ ≤ sup B
für jeden Satz B ⊆ R .

Da kann man dann wählen B = { X } für X ∈ R willkürlich groß (oder klein) sind wir gezwungen zu definieren

inf ∅ = + ∞ , sup ∅ = − ∞ .

Sie sollten das Vorhandensein des "erweiterten reellen Zahlensystems" annehmen, wenn Sie über das Infimum (über das Supremum) einer Menge nachdenken M ⊂ R .

Sie sollten dies tun, weil es hilfreich ist. Ich visualisiere es dynamisch und nicht streng wie folgt. Das erweiterte reelle Zahlensystem ist eine Bahnstrecke oder U-Bahnlinie mit einem westlichen Endpunkt bei − ∞ und ein östlicher Endpunkt bei + ∞ .

Beim Reisen vom westlichen zum östlichen Ende wird jede reelle Zahl weitergegeben.

Nun der Algorithmus für inf ist wie folgt. Lassen Sie den Zug um beginnen − ∞ , und für einen festen Satz M Lassen Sie eine Flagge an jedem Real platzieren A ∈ M .

Wenn der Zug auf die erste Flagge trifft oder diese trifft, hält er an und deklariert seine Ausgabe als die reelle Zahl, die dieser ersten Flagge entspricht. ( Warum ist das nicht ganz richtig? Überlegen Sie { A ∈ R : 0 < A < 1 } . )

Aber in dem Fall M = ∅ , Der Zug in Richtung Osten trifft nie auf eine Flagge und fährt bis zum Ende der Linie, das heißt + ∞ .

Der Fall für sup ist ähnlich, aber der Zug fährt in westlicher Richtung ab + ∞ .

Ich sollte auch den Fall erwähnen, wo M ist links (Westen) unbeschränkt. In diesem Fall visualisiere ich, dass der Zug nicht vom westlichen Endbahnhof abfahren kann, für den Fall des Algorithmus für inf . Daher inf M = − ∞ .
Warum sind inf und sup von Nullmengen als Unendlichkeiten definiert?
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