Beweis der Unbeschränktheit der natürlichen Zahlen über das Axiom der Vollständigkeit

In dem Buch „Understanding Analysis, second edition“ von Stephen Abbot wird die Unbegrenztheit der Menge der natürlichen Zahl beschrieben N wird als folgender Beweis bewiesen:

Nehmen wir zum Widerspruch an, dass N ist nach oben begrenzt. Durch das Axiom der Vollständigkeit (AoC), N sollte dann eine Mindestobergrenze haben, und wir können festlegen a = sup N . Wenn wir überlegen a − 1 , dann haben wir keine Obergrenze mehr [in Anlehnung an die Definition von Supremum], und daher existiert eine N ∈ N befriedigend a − 1 < N . Aber das ist gleichbedeutend mit a < N + 1 . Weil N + 1 ∈ N , haben wir einen Widerspruch dazu, dass a soll eine Obergrenze für sein N . (Beachten Sie, dass der Widerspruch hier nur von AoC und der Tatsache abhängt, dass N wird unter Zusatz geschlossen.)

Was ich nicht verstehe, ist Folgendes: Wie können wir annehmen, dass AoC für natürliche Zahlen gilt? Insbesondere in diesem Buch beginnen wir mit der Definition N , und dann sag das Q (die Menge der rationalen Zahlen) ist eine Erweiterung von N . Dann wird das gezeigt sup A existiert möglicherweise nicht für begrenzt A ⊂ Q . Dann definieren wir endlich AoC, um „die Löcher zu schließen“. Q , was eine axiomatische Art der Definition ist R . Also, wie können wir jetzt zurück zu gehen N , und nehmen Sie an , dass AoC zu beweisen ist N ist unbegrenzt. Zusammenfassend glaube ich (wahrscheinlich irre ich mich), dass die Art und Weise, wie wir dies beweisen, eine Art Paradoxon ist, da AoC nach der Definition kommt N als Eigenschaft reeller Mengen. Was ist, wenn N war zwar beschränkt, aber AoC gilt nicht für N , also ist dieser Beweis falsch? Meiner Ansicht nach sollten wir ein AoC-Argument für natürliche Zahlen definieren (dass jede begrenzte Teilmenge von N räumt ein sup , und tatsächlich ist dies ein Mitglied der Menge, also haben wir a max ), dann verwenden Sie dies in unserem Beweis.

Jede nicht leere Teilmenge von R was nach oben begrenzt ist, hat ein Supremum in R .Wenn N nach oben begrenzt ist, dann hat es auch ein Supremum, du bezeichnest es mit a . Hier ist es wichtig zu beachten, a ist eine reelle Zahl. Wenn Sie eine Teilmenge von betrachten Q es kann nach oben begrenzt sein, aber es darf kein Supremum enthalten Q aber es kann Supremum enthalten R
Wir dürfen hier AoC verwenden, weil wir uns anschauen N als Teilmenge von R Hier.
Ist es nicht so, dass sowohl die AoC als auch die Unbegrenztheit von N kann bewiesen werden , ob die ganzen Zahlen unser gesamtes Universum sind? Verwenden Sie für AoC einfach die Tatsache, dass jede nicht leere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element. Nehmen Sie für Unbeschränktheit an N ist dann eine obere Schranke N < N + 1 ; Widerspruch. Ich denke, der Punkt hier ist das N ist ebenfalls unbegrenzt R , was nicht offensichtlich ist, weil es vielleicht eine reelle Zahl gibt, die größer ist als alle ganzen Zahlen.
@march Falls es hilft, heißt es im selben Buch: "Tatsächlich gibt es, so verwirrend es auch klingen mag, geordnete Felderweiterungen von Q die "Zahlen" enthalten, die größer sind als jede natürliche Zahl. [Archimedisches Eigentum] behauptet, dass die reellen Zahlen solche exotischen Kreaturen nicht enthalten."

Antworten (2)

AoC ist eines der Axiome von R . Dieses Argument gilt also für eine Menge N definiert als Teilmenge von R (z. B. als Durchschnitt aller Mengen, die enthalten 1 und sind geschlossen unter " + 1 ").

Wenn wir axiomatisieren N per se ohne den Kontext von R , dh mit den Peano-Axiomen, dann gibt es tatsächlich kein AoC und keine obere Schranke.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Genau, das war mein Standpunkt. Das typische Gegenbeispiel für die rationalen Zahlen, also A = { A ∈ Q : A 2 < 2 } ⊂ Q hat kein Supremum, wenn wir uns auf rationale Zahlen beschränken. Also müssen wir definieren R zuerst durch die Verwendung Q Und N der Reihe nach. Wenn jedoch die Definition von R hängt von diesen beiden ab, wie können wir sehen N als Teilmenge von R in diesem Beweis (wie in Ihrem ersten Satz), wo R ist ohne Fixierung nicht wohldefiniert N ?
Können Versionen von AoC und Unboundedness nicht in Peano bewiesen werden? AoC (im Sinne jeder beschränkten Teilmenge von N hat ein maximales Element) wäre beweisbar, weil jede nichtleere Teilmenge von t N hat ein kleinstes Element (wählen Sie diese Menge also so, dass sie aus allen ganzen Zahlen besteht, die größer sind als jede ganze Zahl in unserer Zielmenge A , und das kleinste Element ist dann die kleinste Obergrenze). Grenzenlosigkeit ist einfach: Let N die Obergrenze sein; Dann N < N + 1 ; Widerspruch. Der Punkt ist also, dass wir zeigen müssen, dass keine reelle Zahl größer ist als jede natürliche Zahl.
Zur Theorie der R : Wir können verlängern R zu einem größeren geordneten Feld R ∗ das hat Mitglieder, die sind > 0 aber kleiner als jedes Mitglied R + . Ihre Kehrwerte sind größer als jedes Mitglied R ... In R ∗ , der Satz N hat eine Obergrenze, aber keine l u B . . . . Definieren R wir erzeugen eine Konstruktion eines geordneten Feldes F das AoC erfüllt, und wir zeigen, dass jedes geordnete Feld, das AoC hat, isomorph zu ist F , und so rufen wir an F „die“ Realen.

Hier liegt meiner Meinung nach der Kern des Problems: Sobald Sie die natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen eingebettet haben, könnte es eine reelle Zahl geben, die größer ist als alle natürlichen Zahlen. Wir müssen beweisen, dass das nicht stimmt.

Der Grund, warum sich das seltsam anfühlt (abgesehen von der Tatsache, dass es "offensichtlich" ist, dass es keine reelle Zahl gibt, die größer ist als alle ganzen Zahlen), ist, dass sowohl das Axiom der Vollständigkeit als auch die Eigenschaft der Unbegrenztheit von N beweisbar sind , wenn unser gesamtes Universum gerecht ist N . 1 Sobald wir jedoch die natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen eingebettet haben, ist es nicht mehr offensichtlich, dass jede Menge natürlicher Zahlen eine kleinste obere Grenze hat (weil wir zulassen, dass auch reelle Zahlen die Mengen begrenzen), und es ist auch nicht mehr garantiert dass die natürlichen Zahlen unbeschränkt sind, weil wir sie in eine größere Menge eingebettet haben.

1 Verwenden Sie für AoC einfach die Tatsache, dass jede nicht leere Teilmenge von Ganzzahlen (dh die Menge aller Ganzzahlen größer oder gleich jeder Ganzzahl in unserer Zielmenge A ) hat ein kleinstes Element: dann ist dieses Element die kleinste Obergrenze von A . Nehmen Sie dies für die Unbegrenztheit an N ist die größte ganze Zahl; Dann N < N + 1 , was ein Widerspruch ist.

Beweis der Unbeschränktheit der natürlichen Zahlen über das Axiom der Vollständigkeit
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