Stimmt es, dass 0,999999999…=10,999999999…=10,999999999\ldots=1?

Was bedeutet es, wenn Sie sich darauf beziehen$.99999\ldots$? Symbole haben keine besondere Bedeutung, bis Sie definiert haben, was Sie damit meinen .

In diesem Fall ist die Definition, dass Sie die Grenze von nehmen$.9$,$.99$,$.999$,$.9999$usw. Was bedeutet es zu sagen, dass die Grenze ist$1$? Nun, es bedeutet, dass es egal ist, wie klein eine Zahl ist$x$Sie wählen, ich kann Ihnen einen Punkt in dieser Sequenz zeigen, sodass alle weiteren Zahlen in der Sequenz in Reichweite sind$x$von$1$. Aber egal, welche Zahl Sie wählen, Ihre Zahl ist sicherlich größer als$10^{-k}$für einige$k$. Also kann ich nur meinen Punkt auswählen, um das zu sein$k$Platz in der Folge.

Eine intuitivere Art, das obige Argument zu erklären, ist der Grund$.99999\ldots = 1$ist, dass ihre Differenz null ist. Also subtrahieren wir$1.0000\ldots -.99999\ldots = .00000\ldots = 0$. Das ist,

$1.0 -.9 = .1$

$1.00-.99 = .01$

$1.000-.999=.001$,

$\ldots$

$1.000\ldots -.99999\ldots = .000\ldots = 0$

Angenommen, dies wäre nicht der Fall, dh$0.9999... \neq 1$. Dann$0.9999... < 1$(Ich hoffe, wir sind uns darin einig). Aber zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es, sagen wir, immer eine andere dazwischen$x=\frac{0.9999... +1}{2}$, somit$0.9999... < x < 1$.

Die Dezimaldarstellung von$x$muss irgendwo eine Ziffer haben, die nicht ist$9$(ansonsten$x = 0.9999...$). Aber das bedeutet, dass es tatsächlich kleiner ist,$x < 0.9999...$, was der Definition von widerspricht$x$.

Daher die Annahme, dass es eine Zahl dazwischen gibt$0.9999...$Und$1$ist falsch, also sind sie gleich.

Was ich an all den obigen Antworten wirklich nicht mag, ist die zugrunde liegende Annahme, dass$1/3=0.3333\ldots$Wie kannst du das Wissen? Es scheint mir, als würde man etwas bereits Bekanntes annehmen.

Ein Beweis, der mir sehr gefällt, ist:

Das einzige, was ich annehmen muss, ist, dass$9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$und das$0.999\ldots × 10 = 9.999\ldots$Diese scheinen mir intuitiv genug, um sie als selbstverständlich anzusehen.

Der Beweis stammt aus einem alten Mathematikbuch der Oberstufe der Open University in Israel.

Angenommen:

1. unendliche Dezimalzahlen sind Reihen, bei denen die Terme die Ziffern dividiert durch die richtige Potenz der Basis sind
2. die unendliche geometrische Reihe$a + a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 + \cdots$Summe hat$\dfrac{a}{1 - r}$so lange wie$|r|<1$

Dies ist die unendliche geometrische Reihe mit dem ersten Glied$a = \frac{9}{10}$und gemeinsames Verhältnis$r = \frac{1}{10}$, also hat es Summe

Diese Frage enthält echte konzeptionelle Schwierigkeiten. Der Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen ist schwierig, und es hat viel Zeit und viel Nachdenken gekostet, ihn wirklich rigoros zu machen. In anderen Antworten wurde darauf hingewiesen, dass die Notation$0.999999\ldots$ist nur eine Kurzschreibweise für die unendliche geometrische Reihe$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 9\left( \frac{1}{10} \right)^{n},$die Summe hat$1.$Das ist sachlich richtig, fegt aber dennoch einige konzeptionelle Fragen unter den Teppich. Es müssen Fragen darüber beantwortet werden, was wir meinen, wenn wir eine unendliche Dezimalzahl oder eine unendliche Reihe aufschreiben (oder so tun). Jedes dieser Geräte ist nur eine Kurzschreibweise, von der sich Mathematiker einig sind, dass sie einige Zahlen darstellen wird, wenn eine Reihe von Grundregeln gegeben sind. Lassen Sie mich versuchen, ein Argument zu präsentieren, um vorzuschlagen, dass wenn die Notation$0.99999\ldots$jede reelle Zahl sinnvoll darstellen soll, dann könnte diese Zahl nichts anderes als die reelle Zahl sein$1$, wenn wir uns darauf einigen können, dass einige Wahrheiten "selbstverständlich" sind.

Sicherlich sind wir uns einig, dass die reelle Zahl, die sie darstellt, nicht unbedingt größer sein kann als$1$, falls es sich tatsächlich um eine reelle Zahl handelt. Überzeugen wir uns jetzt, dass es keine reelle Zahl sein kann, die streng kleiner als ist$1,$wenn es überhaupt Sinn macht. Nun, wenn es eine reelle Zahl wäre$r < 1,$diese reelle Zahl wäre größer als oder gleich$\sum\limits_{n=1}^{k} 9\left( \frac{1}{10} \right)^{n}$für jede endliche ganze Zahl$k.$Diese letzte Zahl ist die Dezimalzahl$0.99 \ldots 9$die danach endet$k$Vorkommen von$9,$und unterscheidet sich von$1$von$\frac{1}{10^{k}}.$Seit$0 < r <1,$Es gibt einen Wert von$k$so dass$\frac{1}{10^{k}} < 1-r,$So$1 - \frac{1}{10^{k}} >r.$Somit$\sum\limits_{n=1}^{k} 9\left( \frac{1}{10} \right)^{n} > r.$Aber das kann nicht sein, weil wir uns darauf geeinigt haben$r$sollte größer oder gleich jeder dieser abgeschnittenen Summen sein.

Habe ich bewiesen, dass die wiederkehrende Dezimalstelle gleich ist$1$? Nicht wirklich - ich habe bewiesen, dass, wenn wir zulassen, dass diese wiederkehrende Dezimalzahl eine reelle Zahl sinnvoll darstellt, diese reelle Zahl sein muss$1,$da es nicht streng kleiner als sein kann$1$und kann nicht unbedingt größer sein als$1$. An dieser Stelle wird es zu einer Konventionssache, sich auf die reelle Zahl zu einigen$1$kann in dieser Form dargestellt werden, und diese Konvention stimmt mit unseren üblichen Operationen mit reellen Zahlen und der Reihenfolge der reellen Zahlen überein, und die Gleichsetzung des Ausdrucks mit einer anderen reellen Zahl würde diese Konsistenz nicht aufrechterhalten.

Okay, ich habe eine Menge Reputationspunkte (zumindest für mich) auf MathOverflow verbrannt, um Klarheit darüber zu bekommen, wie man etwas Intuition in dieses Problem geben kann, also wird diese Antwort hoffentlich zumindest etwas aufschlussreich sein.

Um ein tieferes Verständnis dessen zu erlangen, was vor sich geht, müssen wir zuerst die Frage beantworten: "Was ist eine Zahl?"

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu definieren, aber im Allgemeinen werden Zahlen als Symbole betrachtet, die Mengen darstellen.

Dies ist für Dinge wie natürliche Zahlen einfach. 10 würde also dem Set mit 10 Dingen entsprechen – wie ein Beutel mit 10 Steinen. Ziemlich einfach.

Der knifflige Teil ist, dass wir zehn, wenn wir sie als Teilmenge der reellen Zahlen betrachten, tatsächlich neu definieren. Dies wird nicht einmal im höheren Mathematikunterricht betont, wie die echte Analysis; es passiert einfach, wenn wir reelle Zahlen definieren.

Was ist also 10, wenn es in reellen Zahlen konstruiert wird? Nun, zumindest bei der Dedekind-Schnittversion der reellen Zahlen entsprechen alle reellen Zahlen einer Menge mit unendlich vielen Elementen. Dadurch sieht 10 unter der Haube drastisch anders aus, obwohl es in der Praxis genau gleich funktioniert.

Kehren wir also zur Frage zurück: Warum ist 10 dasselbe wie 9,99999? Denn die reellen Zahlen haben diese völlig überraschende Qualität, wo es keine nächste reelle Zahl gibt. Wenn Sie also zwei reelle Zahlen haben, die so nah wie möglich beieinander liegen, sind sie gleich. Ich kann mir kein physisches Objekt vorstellen, das diese Eigenschaft hat, aber so funktionieren die reellen Zahlen (lässt "real" ironisch erscheinen).

Bei Integers (Bag-of-Stones-Version) ist dies nicht dasselbe. Wenn Sie zwei ganze Zahlen haben, die so nah wie möglich beieinander liegen, sind sie immer noch unterschiedlich, und sie sind voneinander entfernt.

Anders ausgedrückt, 10 Tüten Steine ​​sind nicht gleich 9,9999999 sondern 10 die natürliche Zahl, wobei natürliche Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind.

Die Quintessenz ist, dass die reellen Zahlen diese kniffligen Randfälle haben, die intuitiv schwer zu verstehen sind. Keine Sorge, deine Intuition lässt dich nicht wirklich im Stich. :)

Ich fühlte mich nicht sicher, zu antworten, bis ich diesen Terence Tao-Link erhielt:

Wayback Machine
PDF, Seite 12

Ein Argument dagegen ist, dass 0,99999999... "etwas" weniger als 1 ist. Wie viel genau?

      1 - 0.999999... = ε              (0)

Wenn das Obige zutrifft, muss auch Folgendes zutreffen:

9 × (1 - 0.999999...) = ε × 9

Rechnen wir:

0.999... ×
9        =
───────────
8.1
  81
   81
     .
      .
       .

───────────
8.999...

Daher:

     9 - 8.999999... = 9ε              (1)

Aber:

         8.999999... = 8 + 0.99999...  (2)

In der Tat:

8.00000000... +
0.99999999... =
────────────────
8.99999999...

Sehen wir uns nun an, was wir aus (0), (1)und ableiten können (2).

9 - 8.999999... = 9ε                      because of (2)
9 - 8.999999... = 9 - (8 + 0.99999...) =  because of (1)
                = 9 -  8 - (1 - ε)        because of (0)
                =   1    -  1 + ε         
                =               ε.

Daher:

9ε = ε

8ε = 0

ε = 0

1 - 0.999999... = ε = 0

Quod erat demonstrandum. Verzeihen Sie meinen Unicode.

Nimmt man zwei reelle Zahlen xund ydann gibt es per Definition die reelle Zahl zfür die x < z < yoder x > z > ygilt.

Für x = 0.99999...und y = 1können Sie kein zund daher finden 0.99999... = 1.

.999... = 1denn .999...ist eine prägnante symbolische Darstellung von "der Grenze einer Variablen, wenn sie sich einer nähert". Daher .999... = 1ist aus dem gleichen Grund der Grenzwert von x gleich 1, wenn sich x 1 nähert.

Gegeben (durch lange Division):
$\frac{1}{3} = 0.\bar{3}$

Mit 3 multiplizieren:
$3\times \left( \frac{1}{3} \right) = \left( 0.\bar{3} \right) \times 3$

Deshalb:
$\frac{3}{3} = 0.\bar{9}$

QED.

In der Tat ist dies wahr. Der zugrunde liegende Grund ist, dass Dezimalzahlen keine eindeutigen Darstellungen der Realzahlen sind. (Technisch gesehen gibt es eine Bijektion zwischen der Menge aller Dezimalzahlen und den Realzahlen, aber es ist nicht die natürliche/offensichtliche.)

Hier ist ein ganz einfacher Beweis:

Dann wissen wir es schon$0.333\ldots\times3=1$Deshalb$0.999\ldots=1$.

Das Problem ist nicht, das zu beweisen$0.9999... = 1$. Es gibt viele Beweise und alle sind einfach.

Das Problem besteht darin, davon überzeugt zu sein, dass jedes Argument, das Sie vorbringen, tatsächlich gültig und sinnvoll ist, und nicht das schlechte Gefühl zu haben, dass Sie nicht nur auf einen Salontrick hereinfallen.

$0.99...9;$(mit$n$9s) ist$\sum_{i= 1}^n \frac 9 {10^i}$also "offensichtlich"$0.999....$(mit unendlich vielen 9ern) ist$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i}$.

Der naheliegende Einwand lautet: Macht es überhaupt Sinn, davon zu sprechen, unendlich viele Terme hinzuzufügen? Wie können wir davon sprechen, eine unendliche Anzahl von Begriffen zu nehmen und hinzuzufügen?

Und es ist ein berechtigter Einwand.

Wenn wir also in der Grundschule Mathe lernen, sagt man uns: Jede reelle Zahl lässt sich als Dezimalentwicklung schreiben (vielleicht unendlich) und jede mögliche Dezimalentwicklung ist eine reelle Zahl. Und das ist wahr. Aber uns wird nicht gesagt, warum, und es wird von uns erwartet, dass wir es glauben, und das tun wir normalerweise.

WENN wir das glauben, dann ist ein Beweis sehr einfach:

$0.9999.... = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i}$

$10*(0.9999....) = 10*\sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i}= \sum_{i = 1}^{\infty} \frac {90}{10^i}=$

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^{i-1}} = 9/10^0 + \sum_{i = 2}^{\infty} \frac 9{10^{i-1}}= 9 + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i}$(Schauen Sie sich die Indizes an!)

So...

$10*(0.999...) - (0.9999...) = (10 - 1)*0.9999.... = 9*0.99999.... =$

$9 + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i} - \sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i} = 9$.

So...

$0.9999.... = 9/9 = 1$.

Einfach! !!!!!!!WENN!!!!!!! Wir glauben, dass: Jede reelle Zahl kann als Dezimalentwicklung geschrieben werden (vielleicht unendlich) und jede mögliche Dezimalentwicklung ist eine reelle Zahl.

Warum können wir das im Glauben annehmen? Das ist die Frage: Warum ist das wahr und was bedeutet das?

So....

Wir haben die ganzen Zahlen. Wir verwenden sie, um diskrete Messungen zu zählen. Wir können eine ganze Zahl verwenden, um eine Einheit durch 1 zu teilen$m$Untereinheiten zum Messen von Messungen$1/m$. Als die$m$kann so groß sein, wie wir wollen$1/m$kann so präzise sein, wie wir wollen und das System aller Möglichkeiten$n/m; m \ne 0$kann jede mögliche Menge mit beliebiger und unendlicher Genauigkeit messen.

Wir hoffen. Wir nennen diese$n/m$Zahlen Sie die Rationals und alles ist in Ordnung, bis wir feststellen, dass wir Messungen wie die Quadratwurzel aus zwei oder Pi nicht wirklich messen können.

Aber die Rationals haben immer noch unendliche Präzision. Wir können uns innerhalb von 1/10 von pi entfernen. Wir können uns innerhalb von 1/100 von pi entfernen. Innerhalb$1/10^n$für jede mögliche Potenz von 10.

An diesem Punkt hoffen wir, dass wir sagen können: "Wir können es nicht mit einer endlichen Potenz von 10 messen, aber wir können immer noch ein signifikantes Maß erreichen. Wenn wir also durch unendliche Potenzen von 10 gehen, werden wir es mit Präzision messen" und wir hoffe, dass die Erklärung überzeugend ist.

Aber es ist nicht wirklich. Wir haben diese „fehlenden Zahlen“ und können ihnen unendlich nahe kommen, aber was sind sie wirklich?

Nun, wir beschließen, Mathematik als Hauptfach zu studieren, und in unserem Abschlussjahr am College belegen wir einen Real Analysis-Kurs und finden es heraus.

Wir können Zahlen als Mengen rationaler Zahlen betrachten. Wir können die rationalen Zahlen an jedem Punkt in zwei Mengen aufteilen. Wir können die rationalen Zahlen so aufteilen, dass alle rationalen Zahlen kleiner als 1/2 in Menge A und alle rationalen Zahlen größer oder gleich 1/2 in Menge B sind (was wir ignorieren; uns interessiert nur Menge A .)

Diese "Schnitte" können an jedem Punkt erfolgen, müssen jedoch den folgenden Regeln folgen:

--die Menge A aller kleineren rationalen Zahlen ist nicht leer. Sie enthält auch nicht jede rationale Zahl. Irgendeine rationale Zahl ist nicht drin.

--wenn irgendeine rationale Zahl (nennen wir sie q) in A ist, dann ist jede rationale Zahl kleiner als q auch in A. (Das bedeutet, wenn r eine rationale Zahl ist, die nicht in A ist, dann ist jede rationale Zahl, die größer als r ist, auch nicht in A A.)

-- A hat kein einziges größtes Element. (Es können also alle Elemente kleiner als 1/2 sein, aber es können nicht alle Elemente kleiner oder gleich 1/2 sein).

Und wir lassen$\overline R$sei die Sammlung aller Möglichkeiten, die rationalen Zahlen auf diese Weise zu "halbieren".

Beachten Sie, dass der Schnitt manchmal an einer rationalen Zahl erfolgt (alle rationalen Zahlen kleiner als 1/2), aber manchmal an Punkten „zwischen“ den rationalen Zahlen. (Alle rationalen Zahlen, deren Quadrate kleiner als 2 sind). Also die Sammlung$\overline R$ist eine größere Menge als die Menge der rationalen Zahlen.

Es stellt sich heraus, dass wir die reellen Zahlen als Punkte von definieren können$\overline R$wo wir die rationalen Argumente in zwei Teile schneiden können.

Wir müssen ein bisschen tun oder arbeiten, um zu zeigen, dass dies tatsächlich ein Zahlensystem ist. Wir sagen$x, y \in \overline R; x < y$wenn der "Satz A durch Schneiden bei x hergestellt"$\subset$"Set A durch Schneiden bei y". Und wir sagen$x + y =$der Punkt, an dem wir schneiden müssen, damit die erstellte Menge A alle Summen der beiden anderen Mengen enthält, die durch Schneiden bei x und y erstellt wurden. Und wir müssen beweisen, dass Mathematik funktioniert$\overline R$. Aber wir können es schaffen. Und das tun wir.

Aber als Konsequenz sehen wir, dass jede reelle Zahl die kleinste obere Schranke einer Folge von rationalen Zahlen ist. Das ist so ziemlich die Definition dessen, was ein „Schnittpunkt“ ist; der Punkt, der alle rationalen Faktoren weniger als ihn von allen anderen rationalen Faktoren trennt.

Ich sage das gerne (etwas banal): die reelle Zahl$x$ist die kleinste obere Schranke aller rationalen Zahlen, die kleiner als sind$x$. Und es ist wahr!

Bei den reellen Zahlen ist jede reelle Zahl der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen. Und jede beschränkte Folge rationaler Zahlen hat eine kleinste Obergrenze für reelle Zahlen.

...

Lassen Sie das für eine Minute einwirken.

=====

Okay, also gegeben eine Folge {3, 3.1, 3.14, 3.141,....} = {endliche Dezimalstellen, die kleiner als pi sind} ist also eine beschränkte Folge von rationalen Zahlen$\pi =$die Grenze der Folge, die auch die Grenze der unendlichen Folge 3.1415926 ist....

Es macht jetzt Sinn, darüber zu sprechen$0.9999.... = \sum_{i=1}^{\infty}9/10^i = \lim\{\sum_{i=1}^n9/10^i\}$= eine genaue und reelle Zahl.

Und von da an können wir mit Zuversicht sagen, dass diese Zahl ist$1$. (Durch einen dieser Beweise.)

Es gibt einige Situationen, in denen so etwas wie$0.99999\ldots < 1$hält tatsächlich. Hier ist eine, die aus der Social-Choice-Theorie stammt.

Lassen$w_1>w_2>\ldots$eine unendliche Folge positiver Zahlen sein, und lassen$T$eine Zahl im Bereich sein$(0,\sum_i w_i)$. Wählen Sie einen Index aus$i$. Wählen Sie eine zufällige Permutation$\pi$der positiven ganzen Zahlen, und betrachten Sie die laufenden Summen

Uns interessiert besonders der Fall, in dem die Sequenz$w_i$ist super-zunehmend : für jeden$i$,$w_i \geq \sum_{j=i+1}^\infty w_j$. Der einfachste Fall ist$w_i = 2^{-i}$. Jede Zahl$T \in (0,1)$kann in das Formular geschrieben werden

Die ersten beiden Funktionen sind hier dargestellt:

Was passiert bei unterschiedlichen Gewichtssätzen? Die gleiche Formel gilt z

Beachten Sie alle horizontalen Teile, zum Beispiel die blaue Linie bei$y=1$bei$x \in (1/6,1/3)$. Woher kommt das? Beachten Sie, dass$1/3 = 3^{-1} = w_1$, wohingegen$1/6 = \sum_{i=2}^\infty 3^{-i} = \sum_{i=2}^\infty w_i$. Wenn wir ersetzen$w_i = 2^{-i}$, Dann$1/3$entspricht$0.1$(binär), wohingegen$1/6$entspricht$0.011111\ldots$. In diesem Fall gibt es also eine (sichtbare) Lücke dazwischen$0.011111\ldots$Und$0.1$!

Weitere Informationen finden Sie in dieser Frage und in diesem Manuskript .

Sie können es visualisieren, indem Sie in Infinitesimalzahlen darüber nachdenken. Je mehr$9's$Sie haben am Ende von$0.999$, je näher man kommt$1$. Wenn Sie unendlich viele hinzufügen$9's$an der Dezimalerweiterung sind Sie unendlich nah dran$1$(oder eine unendlich kleine Entfernung entfernt).

Und dies ist kein rigoroser Beweis, sondern nur eine Hilfe zur Visualisierung des Ergebnisses.

Oft sind Menschen, die diese Frage stellen, von einem Beweis nicht sehr überzeugt. Da sie vielleicht nicht besonders mathematisch geneigt sind, denken sie vielleicht, dass ein Beweis eine Art Taschenspielertrick ist, und ich finde das folgende intuitive Argument (lesen Sie „stimmen Sie mich nicht wegen mangelnder Strenge ab, Mangel an Strenge ist der Punkt") etwas überzeugender:

SCHRITT 1) Wenn$.99...\neq1$, alle sind sich einig, dass es weniger als sein muss$1$. Lassen$\alpha$bezeichnen$.99...$, diese mysteriöse Zahl kleiner als$1$.

SCHRITT 2) Mit einem Zahlenstrahl können Sie sie davon überzeugen$\alpha<1$, es muss eine andere Nummer geben$\beta$so dass$\alpha<\beta<1$.

SCHRITT 3) Seit$\alpha<\beta$, eine der Ziffern von$\beta$muss größer sein als die entsprechende Ziffer von$\alpha$.

SCHRITT 4) Es ist jedoch normalerweise intuitiv klar, dass Sie keine Ziffer machen können$.99...$größer, ohne die resultierende Zahl zu machen (dh$\beta$) größer als$1$.

SCHRITT 5) Also nicht so$\beta$existieren kann und somit$.99...$kann nicht kleiner sein als$1$.

Das System der reellen Zahlen ist als eine Erweiterung der rationalen Zahlen mit der Eigenschaft definiert, dass jede Folge mit einer oberen Schranke die geringste obere Schranke hat. Der Ausdruck "0,9-wiederholt" ist als die kleinste reelle Obergrenze der Folge 0,9 definiert. 0,99, 0,999,..... , was 1 ist. Die Rationalzahlen (und die Realzahlen) können auch auf ein arithmetisches System (ein geordnetes Feld) erweitert werden, in dem es positive Werte gibt, die kleiner sind als jede positive Rationalzahl. In solchen Systemen hat der Ausdruck ".9-wiederholt" keine Bedeutung.

Ein weiterer Ansatz ist folgender:

Hier ist mein Lieblingsgrund warum$.999\ldots$sollte gleich sein$1$:$^{*}$

Der Grund, warum mir diese Erklärung am besten gefällt, ist, dass die Addition von (positiven) unendlichen Dezimalerweiterungen (auf bestimmte Weise definiert) sowohl kommutativ als auch assoziativ ist, selbst wenn Sie darauf bestehen$.999\ldots$Und$1$sind verschiedene Nummern. Das heißt, es bildet ein kommutatives Monoid . Aber die Aufhebungseigenschaft versagt: if$a + b = a + c$, dann können wir nicht unbedingt schließen$b = c$. Das Beispiel dafür ist oben und der grundlegendste Grund dafür$.999\ldots = 1$ist wohl so, dass die Kündigungseigenschaft halten kann.

$^{*}$Die hier gegebene Berechnung (unter Verwendung von Neuordnung und Neugruppierung von Begriffen) ist informell und nicht als Beweis gedacht, sondern soll eine Vorstellung davon vermitteln, wie Sie unendliche Dezimalerweiterungen im Monoid wo hinzufügen können$.999\ldots \ne 1$. Das stimmt am Ende$.999\ldots + .999\ldots = 1 + .999\ldots$in diesem Monoid.

Eine coole Methode, die ich gelernt habe, dies zu beweisen, ist die Annahme von$0.99999...$was meinen Sie$0.\bar{9}$. Nun, das können wir sagen

Verwenden Sie das Squeeze-Theorem:

Wenn Sie zulassen, dass eine "dezimale Darstellung" einer Zahl mit einem Punkt endet$9$wie in$0.\bar9$oder$1.123\bar9$diese „dezimale Darstellung“ einer Zahl wäre nicht eindeutig.

Das wissen wir per Definition$0.\bar9=\sum_{n=1}^{\infty}(9/10)^n=1$, sondern wegen der Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung$0.\bar9$ist keine dezimale Darstellung irgendeiner Zahl.

Anstatt eine intuitive Erklärung zu geben, wie es die meisten Leute getan haben, möchte ich einen ersten formalen Beweis dieser Tatsache geben. Wenn$\epsilon>0$Und$N=\max\left(\lceil{{log}_{10}\frac{1}{\epsilon}}\rceil+1,1\right)$, dann für alle natürlichen Zahlen$n\geq N$,

und somit$\left |\Sigma_{i=1}^{n}\frac{9}{{10}^i}-1\right|<\epsilon$. Seit$\epsilon$willkürlich war, folgt daraus

Klar wie Schlamm, aber so würdest du es beweisen, sagen wir$ZFC$, oder die Theorie zweiter Ordnung der reellen Zahlen, von ersten Prinzipien.

Wenn wir eine Version der Dezimalschreibweise mit voller Ergänzung nehmen , ist es tatsächlich so.

In diesem System, anstatt zuzulassen$0.2$Und$0.1999...$Wir beschränken die Dezimalnotation auf die Verwendung nur der unendlichen Version$0.19999...$kurz geschrieben als$0.1\overline{9}$

Wir erlauben einfach keine unendliche Nullspur.

In diesem System gibt es keine$0$geschrieben als$0.000...$stattdessen ist es$...999.999...$oder mit unserer prägnanten Notation$\overline{9}.\overline{9}$

Negative Zahlen werden in Komplementschreibweise geschrieben. Zum Beispiel,$...998.999...=\overline{9}8.\overline{9}=-1$

Alle Regeln der Multiplikation, Addition, Subtraktion sind absolut gültig.

In diesem System ist es in der Tat so$0.99999...=0.\overline{9}=1$weil wir nicht vertreten können$1$als$1.0000...$.

[ Hinweis: Dies ist meine ursprüngliche Antwort, die jedoch vollständig umgeschrieben wurde, um ihren Zweck zu verdeutlichen.]

Diese Antwort greift den Punkt von Trevor Richards auf, dass Menschen, die diese Frage stellen, oft nicht von strengen mathematischen Beweisen überzeugt sind und sich stattdessen von ihnen getäuscht fühlen. In dieser Situation könnte eine Sache, die helfen könnte, eine überzeugende sichtbare Demonstration dessen sein$0.999999 . . . =1$hat eine gewisse Chance wahr zu sein.

Die übliche Demonstration besteht darin, jemanden dazu zu bringen, dem zuzustimmen$\frac13=0.33333 . . .$und multipliziere es dann mit$3$zu bekommen$0.99999 . . .$. An diesem Punkt könnten sie überzeugt sein, sich aber gleichermaßen verwirrt oder getäuscht fühlen.

Hier, denke ich, kommen weitere Beispiele ins Spiel. Das müssen wir sehen$\frac13$ist kein Sonderfall, mit dem man uns austricksen kann.

Bei meiner ersten Begegnung$0.999999. . .$, fand ich beim Betrachten von Vielfachen von$\frac19$hilfreich. Sobald Sie sich davon überzeugt haben, dass dies durch eine unendliche Kette von dargestellt werden kann$1$'s, es ist leicht zu sehen, dass wiederholtes Hinzufügen es ergibt$0.222222. . .$,$0.333333. . .$,$0.444444. . .$ganz nach oben$0.999999. . .$

Dieser Prozess ist völlig unvermeidlich, besonders wenn Sie ihn auf Papier schreiben. Aber . . . Vielleicht ist es immer noch nur ein Trick mit einer sich wiederholenden Ziffer?

OK, dann versuchen wir ein Vielfaches von$\frac17=0.142857 . . .$. Das macht Spaß, weil sich der Ziffernzyklus verhält:

$\frac17=0.142857 . . .$
$\frac27=0.285714 . . .$
$\frac37=0.428571 . . .$

und das Muster setzt sich schön fort, und bald ist es "offensichtlich", dass sich die Ziffern einfach weiter drehen werden. Aber dann tun sie es plötzlich nicht mehr:

$\frac67=0.857142 . . .$
$\frac77=0. 999999 . . .$

– Da ist es wieder!

Wir können es auch mit anderen Brüchen versuchen, z$\frac{1}{13}$Und$\frac{1}{37}$, die nach einer überschaubaren Anzahl von Ziffern wiederkehren. Immer landen wir bei$0.999999 . . .$.

An dieser Stelle sollte es klar erscheinen (aber nicht formal bewiesen), dass das Akzeptieren der Idee unendlich wiederkehrender Dezimalstellen das Akzeptieren dieser beinhaltet$0.999999. . . =1$.

Das verbleibende Problem ist natürlich die Akzeptanz unendlich wiederkehrender Dezimalzahlen. Das wird in anderen Antworten angesprochen.

Wir können dies tun, indem wir die Quadratwurzel von berechnen$0.99...$durch lange Teilungsmethode.

Nun erhalten wir im Quotienten as zunächst eine Null und einen Dezimalpunkt$0<0.99...\leq 1$. Dann$9$als Divisor für das erste Paar von$9$dann$189$für das nächste Paar$9$'S,$1989$weiter und so weiter ($19989$,$199989$, ...). Der Quotient wird mit a angehängt$9$bei jedem Schritt und wir können ein Muster in den Dividenden, Divisoren und den Resten sehen, um sicherzustellen, dass der Quotient nur hat$9$'s nach dem Komma. Obwohl ich nicht sicher bin, wie ich beweisen soll, dass es keine Ziffer außer geben wird$9$, vielleicht reicht es, das Muster zu beobachten. (Beiträge zu diesem Nachweis sind willkommen.)

Weiter kommen wir$\sqrt{0.999...}=0.999...$, darüber hinaus$0<0.99...\leq 1$.

Nun, wenn$x\in\mathbb{R},\ x=\sqrt{x} \implies x =0\ \text{or}\ x=1$

So bekommen wir$0.999...=1$

Beide vorgeschlagenen Zahlenausdrücke repräsentieren denselben Dedekind-Schnitt der Menge rationaler Zahlen, also dieselbe reelle Zahl.

Die Antwort ist „wahr“.

Lassen$R$sei ein beliebiger Ring, der ein Element enthält$x$so dass$1-10x=0$. Nehme das weiter an$R$enthält die formale Potenzreihe$\sum_{i=1}^\infty x^i$.

Formal bedeutet dies, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt$f\colon S\to R$, von einem Unterring$S\subseteq\mathbb{Z}[[t]]$enthält$\sum_{i=1}^\infty t^i$, so dass$f(t)=x$.

Dann:

Beweis: Wir haben

Entschuldigung: Ich habe das vorherige durchgesehen$31$Antworten und habe keine gesehen, die deutlich machen, dass dieses Ergebnis algebraisch bewiesen werden kann (unabhängig von jeglicher Topologie, Analyse oder Ordnungsstruktur). Ich denke, dies ist ein legitimer Diskussionsbeitrag, denn sobald jemand verstanden hat, warum die Identität aus den Definitionen folgt, neigt er dazu, sich zu fragen, ob er die Realzahlen nicht "besser" hätte definieren können, um dies zu vermeiden (oder vielleicht ist es das, was er tut fragten sich zuerst, ohne es zu merken).

Ein fehlendes Glied in anderen Antworten.

Wenn$0.9999....$Und$1$reelle Zahlen darstellen sollen, dann müssen sie den Eigenschaften der Menge reeller Zahlen folgen.

Einer von ihnen sagt, dass reelle Zahlen dicht geordnet sind , was bedeutet, dass es immer eine andere reelle Zahl zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt.

Wenn$0.9999...$Und$1$unterschiedlich sind, müsste zwischen beiden eine andere reelle Zahl stehen. Sie können jedoch keine der Ziffern einer der beiden ändern, um diese Nummer aufzuzeichnen.

Deswegen,$0.9999...$Und$1$muss als dasselbe Element der Menge der reellen Zahlen betrachtet werden.

Je mehr 9 in der Folge vorhanden sind, desto kleiner wird der Abstand zwischen 1 und dieser Zahl, und nach jeder 9 wird der Abstand 10-mal kleiner. Für die Zahl 0,9 ist es beispielsweise so${1 \over \mathrm{10}^{1}}$weg vom Erreichen von 1, 0,99 ist${1 \over \mathrm{10}^{2}}$vom Erreichen von 1 entfernt, und 0,999 ist${1 \over \mathrm{10}^{3}}$weg vom Erreichen von 1. Also wenn$0.99999999 \dots$hat ein$n$Zahl von 9 darin, der 'Abstand' zwischen dieser Zahl und 1 ist${1 \over \mathrm{10}^{n}}$. Nun, da$0.99999999 \dots$unendlich viele 9er hat, macht es Sinn, dass der 'Leerraum' dazwischen liegt$0.9999999 \dots$und 1 ist${1 \over \mathrm{10}^{\infty}}$, oder$\mathrm{10}^{-\infty}$, was 0 ist. Nun, um das zu beweisen$\mathrm{10}^{-\infty}$ist 0. Nehmen Sie einfach die Log-Basis 10 auf beiden Seiten, und Sie werden das finden$\log_{10} 0 = -\infty$. Dies bedeutet, dass der "Abstand" zwischen$0.9999\dots$und 1 ist 0, was bedeutet, dass$0.99999\dots + 0 = 1$.

Deshalb,$0.9999\dots = 1$

Wir wissen, dass 0,9999...... eine endlose Zahl ist, aber was, wenn Sie nur für eine Minute denken, dass es enden wird. Sei eine beliebige Zahl A = 0,999....
10× A = 10 × 0,999..... 10A = 9,999......
(Angenommen, wir können 10 mit einer nicht endenden Zahl multiplizieren) Nun subtrahieren wir A von 10A 10A - A = 9,9.... - 0,99.... 9A = 9.
(Nach dem Komma heben sich alle 9 gegenseitig auf) A = 1 Was wir als gleich 0,9 angenommen hatten .... Daher was ist unser Beweis.