Was ist eine Dezimalerweiterung?

Ich bin ein Erwachsener, der versucht, nach ein paar Jahren wieder zur Schule zu gehen; Ich versuche mich aufs College vorzubereiten. Beim Lesen bin ich auf die Begriffe 'Dezimalerweiterung' und 'Dezimaldarstellung' gestoßen, die übrigens synonym sind, soweit ich sehen kann. Ich habe versucht, es selbst zu verstehen, und ich fühle, dass ich noch verwirrter geworden bin. Soweit ich verstehen konnte, ist die Dezimalerweiterung der Ausdruck einer Zahl im Dezimalzahlensystem als 1, 15, 359, 18,7 und 3,14159. Ich habe auch gelesen, dass, wenn wir zum Beispiel die Zahl 3264 schreiben, wir sagen, dass diese Zahl das Ergebnis der Addition von 3 x 10 * 3, 2 x 10 ^ 2, 6 x 10 ^ 1 und 4 oder 4 x 10 ist ^0. Wir sagen also, dass 3264 die Basis-10-Erweiterung von n oder die Dezimalerweiterung von n ist. Soweit ich weiß, ist die Erweiterung von 3264 3264, die Nummer selbst. Warum beziehen wir uns dann, wenn wir von Dezimalerweiterung (Dezimaldarstellung) sprechen, im Allgemeinen auf Zahlen, die explizit einen Dezimalpunkt haben? Das heißt, eine ganze Zahl und eine Bruchzahl. Denn so wie ich es verstehe, wäre eine Zahl wie 42 selbst eine Dezimalerweiterung, aber jede Zahl soll eine unendliche Dezimalerweiterung haben, in diesem Fall 42,00000? Ein weiteres verwandtes Beispiel wäre die Zahl 1, die 2 unendliche Dezimalerweiterungen hat: 1,00000 ... und 0,99999 .... Aber wenn wir eine Zahl auch in Dezimalschreibweise ausdrücken können, wie zum Beispiel: 4567 = 4x10^3 + 5x10^ 2 + 6x10 + 7 = 4567(10). Sind also beide Dezimalerweiterungen (Dezimaldarstellungen) oder nur eine davon? 4567 ist die Kurzform und 4x10^3 + 5x10^2 + 6x10 + 7 = 4567(10) ist die Erweiterung? Jetzt,

Dezimaldarstellung:Jede reelle Zahl a zwischen 0 und 1 hat eine Dezimaldarstellung, geschrieben .d1 d2 d3 …, wobei jedes di eine der Ziffern 0, 1, 2, …, 9 ist; das bedeutet, dass a = d1 × 10^–1 + d2 × 10^–2 + d3 × 10^–3 + …. Diese Schreibweise kann erweitert werden, sodass jede positive reelle Zahl als cncn–1 … c1c0 geschrieben werden kann. d1d2d3 … unter Verwendung der normalen Darstellung cncn–1 … c1c0 zur Basis 10 für den ganzzahligen Teil (siehe BASE). Besteht die Darstellung ab einem gewissen Grad aus der Wiederholung einer Folge von einer oder mehreren Ziffern, spricht man von einer wiederkehrenden oder sich wiederholenden Dezimalzahl. Beispielsweise kann die wiederkehrende Dezimalzahl .12748748748 … .12748 geschrieben werden, wobei die Punkte oben den Anfang und das Ende der sich wiederholenden Zeichenfolge angeben. Die sich wiederholende Zeichenfolge kann aus nur einer Ziffer bestehen, und dann wird beispielsweise .16666 … .16 geschrieben. Wenn die sich wiederholende Zeichenfolge aus einer einzelnen Null besteht, Dies wird im Allgemeinen weggelassen und die Darstellung kann als abschließende Dezimalzahl bezeichnet werden. Die Dezimaldarstellung jeder reellen Zahl ist eindeutig, außer dass eine Zahl, die als abschließende Dezimalzahl ausgedrückt werden kann, auch als Dezimalzahl mit einer wiederkehrenden 9 ausgedrückt werden kann. Somit sind 0,25 und 0,249 Darstellungen derselben Zahl. Die Zahlen, die als wiederkehrende (einschließlich abschließende) Dezimalzahlen ausgedrückt werden können, sind genau die rationalen Zahlen.

Und jetzt frage ich mich, was ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1? Und zurück zum Anfang, was ist eine Dezimalerweiterung? Bedeutet Erweiterung, eine Zahl zu „dehnen“? eine Zahl? Aber das macht mit seinem Synonym nicht viel Sinn; Dezimaldarstellung. Was ist also eine Dezimalerweiterung (Dezimaldarstellung)?

Ich hoffe, ich habe mich gut genug erklärt und nicht hoffnungslos und sehr dumm für Sie; Ich habe Schwierigkeiten zu verstehen und obwohl ich wenig Zeit habe (aufgrund meines Jobs und anderer Berufe), möchte ich lernen.

Ich wünschte, jemand könnte so sein, aber so nett, mir zu helfen, bitte. Ich bin etwas verzweifelt. Vielen Dank. :)

PS: Sorry für mein Englisch, es ist nicht meine Muttersprache.

Viele Fragen hier. Leider werden allgemeine Fragen wie diese hier nicht wirklich gut aufgenommen, aber ich werde versuchen, die wichtigsten Punkte anzusprechen.
Dieser Beitrag ist kaum lesbar: ein völliger Mangel an Zitatformatierung und große Textblöcke, die einfach ohne klare Verbindung zusammengeworfen werden. Was lesbar ist, enthält mehrere Fragen, die separat aufgeteilt werden sollten.
@RushabhMehta Dafür sind Kommentare nicht da. Wenn Sie einen Twitterstorm von Kommentaren erstellen müssen, sollten diese als Antwort gepostet werden. Vor allem, wenn Sie mehrere Punkte ausführlich ansprechen.
@ArturoMagidin Entschuldigung, entfernt.
Es sieht so aus, als wären Sie verwirrt über den konzeptionellen Unterschied zwischen dem tatsächlichen Wert einer Zahl und wie wir diesen Wert auf verschiedene Weise schreiben (darstellen).
Die Dezimalerweiterung einer reellen Zahl ist nur die übliche Basis 10 Ausdruck für diese Zahl. Siehe dies zum Beispiel.
Sie brauchen ein Lehrbuch, das ein Kapitel über die logischen Grundlagen hat R .
Meine Vermutung ist, dass Ihre Verwirrung darin besteht, dass Sie nicht viele andere Möglichkeiten zur Darstellung von Zahlen gesehen haben oder zumindest einen Mangel an Erfahrung im Umgang mit anderen Darstellungen haben. So gibt es für ganze Zahlen nicht-positionelle Notationssysteme (z. B. römische Zahlen ) und andere positionelle Notationssysteme (z. B. binär , ternär , etc.) und andere wie das Fakultätszahlensystem (neu für mich). (Fortsetzung)
Für rationale Zahlen haben wir Brüche ( vulgäre Brüche oder gemischte Zahlen ). Für reelle Zahlen haben wir Kettenbrüche (häufig in der Mathematik verwendet), Cantor-Entwicklungen (selten verwendet) und andere.
Dezimalerweiterung / -darstellung fühlt sich für mich nicht wie ein vollständig technischer Begriff an, daher würde ich glauben, dass er in verschiedenen Lehrbüchern unterschiedliche Bedeutungen haben könnte. Ich würde mir darüber keine allzu großen Sorgen machen - wenn Sie einem Lehrbuch folgen und sich dort an die Konvention halten, sollte es Ihnen gut gehen.
Beachten Sie, dass die Eindeutigkeit der Dezimalerweiterung glücklicherweise nur bei einer abschließenden Erweiterung auftritt, die einer Erweiterung mit einem Punkt entspricht 9 ¯ .
Beachten Sie, dass 0 ¯ ist ein ziemlich künstlicher Punkt und nachgestellte Nullen werden normalerweise sowieso weggelassen, es sei denn, wir haben Situationen, in denen die Anzahl der Dezimalstellen nach dem Komma festgelegt ist.
Eine große Entschuldigung, dass die Antwort so lange gedauert hat. Ich hatte viel zu tun und bin am Ende des Tages tot gelandet. Ich danke Ihnen sehr, dass Sie sich die Zeit und Geduld genommen haben, diese vielleicht ziemlich dumme und grundlegende Frage zu lösen.
@Peter Ich war ein bisschen kalt darüber, dass die Nichteindeutigkeit einer Dezimalerweiterung nur bei einer Terminalerweiterung auftritt, was einer Terminalerweiterung mit Periode 9 entspricht.
@Peter Und diese 0 ist eine ziemlich künstliche Periode (das wusste ich wirklich nicht; ich verstehe es auch nicht sehr gut).
@Peter Ich denke, ich könnte hier vorerst aufhören, wenn ich versuche, tiefer zu gehen, würde ich verwirrt werden und viel Zeit mit diesem Detail verbringen, das ich vielleicht besser verstehen werde, wenn ich weiter gehe. Ich danke dir.

Antworten (2)

Sie werden „ Dezimaldarstellung “ höchstwahrscheinlich im Zusammenhang mit ganzen Zahlen sehen, wenn das Buch von verschiedenen Zahlenbasen spricht .

Das heißt, die Dezimaldarstellung wird erörtert, um sie beispielsweise mit der Binärdarstellung zu vergleichen .

So

  • „Lassen Sie uns die Zahl, deren Dezimaldarstellung ist , binär ausdrücken 42 : 42 = 2 5 + 2 3 + 2 1 und so 42 Ist 101010 binär."

Sie werden " Dezimalerweiterung " höchstwahrscheinlich im Zusammenhang mit Brüchen sehen , wenn das Buch davon spricht, einen Bruch mit einem Dezimalpunkt und so weiter zu schreiben:

  • „Lass uns ausdrücken 3 4 unter Verwendung seiner Dezimalerweiterung : 3 4 = 3 × 25 4 × 25 = 75 100 = 0,75 ."

Aber tatsächlich bedeuten „Dezimaldarstellung“ und „Dezimalerweiterung“ beide dasselbe. Es ist nur so, dass "Erweiterung" besser für Brüche nach dem Dezimalkomma geeignet ist (insbesondere wenn sie sich wiederholen oder auf andere Weise nicht enden), weil die Liste der Ziffern nach dem Dezimalkomma "erweitert" wird.

Ich hoffe das hilft. Die Unterscheidung ist lediglich eine des Kontexts.

Vielen Dank, Sie haben mir sehr geholfen. Ich frage mich sehr, warum in vielen grundlegenden Büchern, die sich mit Themen wie diesem befassen, diese Art von Feinheiten nicht erklärt werden; Diese Art von Verwirrung kann passieren.

Versuchen Sie zusammenzufassen, was für die Vorbereitung auf das College wesentlich ist:

  • gut zu lesen (danke an lulu): is this

  • Es ist ziemlich offensichtlich und wurde von Ihnen richtig beobachtet, dass eine ganze Zahl, sagen wir, 4567 hat eine triviale Unendlichkeit von Dezimalerweiterungen (Darstellungen): 4567.000...

  • gleiches gilt zum Beispiel für rationale Zahlen, deren exakte Entwicklung endlich ist 1 / 2 = 0,50 .... , so dass am Ende wieder beliebig Nullen aufgefüllt werden können

  • wie du richtig beobachtet hast: 0,999999... steht für die gleiche Zahl wie 1.0000... .

  • In einem Kommentar wurde angemerkt, dass es einen konzeptionellen Unterschied zwischen dem Wert einer Zahl und der unterschiedlichen Schreibweise gibt.

  • Einige weitere Kommentare gaben Ihnen wertvolle Hinweise, um tiefer einzutauchen, aber ich denke, das ist für das College nicht erforderlich - außer vielleicht binäre Darstellungen, da sie sehr wichtig werden, wenn Sie sich für Informatik interessieren.

"Dasselbe gilt für rationale Zahlen, da ihre exakte Erweiterung endlich ist" - Sie möchten dies vielleicht erweitern, da die meisten rationalen Zahlen einen wiederkehrenden Teil haben - und daher nicht alle rationalen Zahlen mit Nullen aufgefüllt werden können.
Danke für den Hinweis auf diesen Mist.
@PrimeMover Ich habe etwas darüber in einem der vielen Bücher gelesen, in denen ich nachgesehen habe:
@PrimeMover Es lautet wie folgt: "Die rationalen Zahlen sind genau die reellen Zahlen mit Dezimalerweiterungen, die entweder enden (in einer unendlichen Folge von Nullen enden), zum Beispiel 3/4 = 0,75000 ... = 0,75 oder sich schließlich wiederholen."
@PrimeMover Es stammt aus "University Calculus, Global Edition, 3rd Ed, by Hass, Weir, Thomas, Jr. from Pearson Publishing. Im Anhang von Real Numbers, S. 928.
@PrimeMover Ich bin etwas verwirrt darüber, dass Sie Kurt G.
@PrimeMover Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich tiefer gehen sollte, weil es mich mehr verwirren würde, ich denke, es wäre besser, es so zu belassen, wie ich es verstehen könnte, und das reicht aus, um voranzukommen.
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