Kritik am Beweis dafür, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist

Ist das Folgende ein gültiger Beweis dafür 2 ist irrational?

Ich habe den Beweis dafür in Baby Rudin gesehen, aber ich versuche herauszufinden, wie viel "Selbstausdruck" (ich weiß nicht, wie ich es sonst nennen soll) in Beweisen erlaubt ist. Der folgende Beweis, zu dem ich ohne weiteres gelangt bin, erscheint mir sinnvoller als der Beweis bei Rudin. Ist es richtig und würde es als gut genug angesehen werden?

2 ist rational, wenn ∃ M N ∈ Q , M , N ∈ Z Und N ≠ 0 .

Vermuten 2 ∈ Q , Dann M N = 2 , N ≠ 0

M 2 N 2 = 2 M 2 = 2 N 2

Wenn M = 0 , Dann 0 = 2 N 2 , was nur wahr ist, wenn N = 0

Aber N kann nicht 0 sein. Also 2 Ist ∉ Q .

Sie haben sich nicht mit dem Fall befasst, wo M ≠ 0 , der Beweis ist also nicht vollständig.
Das m=0 und n=0 ergibt keinen Sinn. Sie müssen auch m und n so auswählen, dass sie „reduziert“ wurden, dh alle gemeinsamen Faktoren wurden herausgenommen, sodass Sie zu einem Widerspruch kommen, dass m2 gerade ist, also muss n auch gerade sein.
tut 2 teilen 2 N 2 ?
Warum wird das runtergevotet?
@EthanAlwaise Danke. Ich verstehe was du meinst. Während ich versuchte, den "Beweis" möglicherweise zu vervollständigen, wurde mir auch klar, dass dies kein gültiger Beweis sein kann, weil es sogar darauf hindeuten würde 4 ist meiner ursprünglichen Denkweise nach nicht rational.

Antworten (1)

Zunächst einmal ist es sinnvoll, dies explizit zu machen M N ∈ Q , M , N ∈ Z Dann M , N müssen Teilerfremde sein. Also wenn M ≠ 0 Dann M 2 = 2 N 2 impliziert, dass M , N sind beide gerade, was absurd ist (da sie nach Annahme Teilerfremde waren).

Danke für die Antwort. Aber ich versuchte zu sehen, ob ich überhaupt zu einem gültigen Beweis kommen könnte, der sich von dem in Baby Rudin unterschied und sich vielleicht überhaupt nicht darauf stützte, dass m und n Primzahlen sind. Aber wie Ethan in seinem Kommentar betonte, war mein Beweisversuch fehlerhaft. (Der Beweis in Baby Rudin ähnelt Ihrer Antwort). Ich bin immer noch dabei, Ihre Antwort abzustimmen.
Kritik am Beweis dafür, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist
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