Beweisen Sie, wenn ∑∞n=1|an|<∞∑n=1∞|an|<∞\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty, dann |∑∞n=1an|≤∑∞ n=1|an||∑n=1∞an|≤∑n=1∞|an|\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^ \infty\links|a_n\rechts|

Beweisen Sie, ob ∑ N = 1 ∞ | A N | < ∞ , Dann | ∑ N = 1 ∞ A N | ≤ ∑ N = 1 ∞ | A N | .

Nach anfänglicher Beobachtung scheint es, als sollten wir die Dreiecksungleichung verwenden.

Meine ersten Gedanken:

BEWEIS : Seit ∑ N = 1 ∞ | A N | konvergent und damit beschränkt ist, wissen wir dann, dass die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist (und das ∑ N = 1 ∞ A N konvergiert, da sie absolut konvergiert, was impliziert, dass ihre Folge von Partialsummen ebenfalls konvergent und beschränkt ist). So,

| ∑ N = 1 ∞ A N | = | A 1 + A 2 + A 3 + ⋯ | ≤ | A 1 | + | A 2 | + | A 3 | + ⋯ = ∑ N = 1 ∞ | A N |

Dürfen wir die Dreiecksungleichung verwenden, weil die Teilsummenfolgen der beiden Reihen beschränkt sind? Oder können wir gleich die Dreiecksungleichung verwenden?

Induktion hilft
@polfosol Nicht wirklich, oder besser gesagt: wirklich nicht.
@Did Du hast recht. Es ist mir zur Gewohnheit geworden, zuerst Induktion zu versuchen, wenn ich eine Aussage über ganze Zahlen sehe. Und manchmal empfehle ich das blind, ohne eine Ahnung zu haben, „wie“. Gut, dass Kommentare keine Downvotes bekommen ;)

Antworten (1)

Nein, es ist nicht "erlaubt", die Dreiecksungleichung einfach so zu verwenden. In der Tat verwenden Sie in Ihrem Beweis genau die Tatsache, die Sie beweisen möchten ... Die letzte Ungleichung, die Sie mit " … " ist genau das, was Sie zu beweisen versuchen! Dies wird als Zirkelbeweis bezeichnet und ist überhaupt kein wirklicher Beweis.

Stattdessen müssen Sie vorsichtiger sein. Lassen S N = ∑ N = 1 N A N sei die Folge von Partialsummen. Mit der eigentlichen Dreiecksungleichung und Induktion kannst du das für alle beweisen N ,

| S N | ≤ ∑ N = 1 N | A N | .

Darüber hinaus ist das klar ∑ N = 1 N | A N | ≤ ∑ N = 1 ∞ | A N | , weil der Grenzwert einer nichtfallenden Folge größer ist als jeder einzelne Term. Deshalb bekommst du das für alle N ,

| S N | ≤ ∑ N = 1 ∞ | A N | .

Nun, wenn eine Sequenz u N konvergiert und für alle N du hast | u N | ≤ C , Dann lim N → ∞ | u N | ≤ C . Das kannst du auf die Sequenz anwenden { S N } Und C = ∑ N = 1 ∞ | A N | endlich bekommen:

lim N → ∞ | S N | = | ∑ N = 1 ∞ A N | ≤ ∑ N = 1 ∞ | A N | .

Beweisen Sie, wenn ∑∞n=1|an|<∞∑n=1∞|an|<∞\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty, dann |∑∞n=1an|≤∑∞ n=1|an||∑n=1∞an|≤∑n=1∞|an|\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^ \infty\links|a_n\rechts|
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