Wenn lim supn→∞an=a<∞lim supn→∞an=a<∞\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=a< \infty, dann ist ∀ϵ>0∀ϵ>0\forall\epsilon >0 ∃N∈N:an≤a+ϵ∃N∈N:an≤a+ϵ\exists N\in \mathbb{N}:a_n\leq a+\epsilon

Sie müssen nicht so weit gehen, den Satz von Bolzano-Weierstraß anzuwenden. Wir können Ihre Aussage direkt beweisen.

Erinnere dich daran$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} \sup\limits_{k\geq n} a_k$. Lassen Sie uns reparieren$\epsilon > 0$. Durch die Definition der Grenze wissen wir, dass es welche gibt$N\in \mathbb N$so dass$\sup\limits_{k\geq N} a_k < a+\epsilon$. Daher schlussfolgern wir per Definition des Supremums, dass$a_k < a + \epsilon$für jeden$k\geq N$, das ist die Schlussfolgerung, die Sie wollten.

Vermute etwas anderes. Das heißt, nehmen wir an, für jeden$N\in\mathbb N$, da ist ein$n\in\mathbb N$so dass$n\geqslant N$und das$a_n\geqslant a+\varepsilon$. Es gibt also eine Reihenfolge$(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}$so dass$(\forall k\in\mathbb N):a_{n_k}\geqslant a+\varepsilon$. Und da$(a_n)_{n\in\mathbb N}$ist begrenzt,$(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}$ist auch begrenzt. Es hat also nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge. Die Grenze dieser Teilfolge muss größer oder gleich sein$a+\varepsilon$, ist aber unmöglich, da definitionsgemäß$a$das Supremum der Menge der Grenzpunkte ist.